K-QAQ（打表）

题目链接：http://acm.csust.edu.cn/problem/3033

Description

 

定义，即1到i的j次方的异或和

求的值

 

Input

 

一行三个整数k,x,y

1≤k≤1e5

1≤x≤y≤1e9

 

Output

 

一个整数，表示答案

 

Sample Input 1 

1 2 7

Sample Output 1

6

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此题看起来复杂，但打个表就会发现是个一眼题... 公式由于(i%2)的存在，所以我们只需要计算i为奇数的情况就好了。 那么打个奇数的表就会发现:

那么此题就结束了。

证明如下：

记 f(x, y) 为x到y的所有整数的异或值。对 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“幂”，xor 表示“异或”，or 表示“或”)： 2^k 到 2^(k+1) -1 这2^k个数，最高位（+k位）的1个数为2^k， 若 k >= 1，则2^k为偶数，将这2^k个数的最高位(+k位)去掉，异或值不变。

因而f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)

因而 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1) 即 f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)

对 f(0, n)  (n >= 4) 设n的最高位1是在+k位(k >= 2)， f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n) 对2^k到n这n+1-2^k个数，最高位(+k位)共有 m = n+1-2^k 个1,去除最高位的1 当n为奇数时，m是偶数，

因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k) 由于n - 2^k 与 n同奇偶，递推上面的公式，可得：

f(0, n) = f(0, n % 4)

当 n % 4 == 1 时， f(0, n) = f(0, 1) = 1

当 n % 4 == 3 时， f(0, n) = f(0, 3) = 0

以下是打表的程序以及打表的结果：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int work(int i,int j)
{
    int ans=0;
    for (int k=1; k<=pow(i,j); k++)
        ans^=k;
    return ans;
}

void en(int i,int j)
{
    printf ("f(%d,%d)=%d\n",i,j,work(i,j));
    
}

int main()
{
    int n;
    n=11;
    int ans=0;
    for (int i=1; i<=n; i+=2){
        for (int j=1; j<=5; j++){
            en(i,j);
        }
        printf ("\n");
    }
    return 0;
}

/*
f(1,1)=1
f(1,2)=1
f(1,3)=1
f(1,4)=1
f(1,5)=1

f(3,1)=0
f(3,2)=1
f(3,3)=0
f(3,4)=1
f(3,5)=0

f(5,1)=1
f(5,2)=1
f(5,3)=1
f(5,4)=1
f(5,5)=1

f(7,1)=0
f(7,2)=1
f(7,3)=0
f(7,4)=1
f(7,5)=0

f(9,1)=1
f(9,2)=1
f(9,3)=1
f(9,4)=1
f(9,5)=1

f(11,1)=0
f(11,2)=1
f(11,3)=0
f(11,4)=1
f(11,5)=0
*/

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=1e9+7;

int main()
{
    int n,x,y;
    scanf ("%d%d%d",&n,&x,&y);
    int ans=0;
    int mark=0;
    for (int i=1; i<=n; i+=2){
        if (!mark) ans=(ans+y-x+1)%mod;
        else ans=(ans+y/2-(x-1)/2)%mod;
        mark^=1;
    }
    printf ("%d\n",ans);
    
    return 0;
}