C++学习之【使用位操作符求素数分析】

先放普通代码：

#include <iostream>
using namespace std;

void getPrime_1()
{
    const int MAXN = 100;
    bool flag[MAXN];
    int primes[MAXN / 3 + 1], pi=0;
    primes[pi++]=2; //2 是一个素数，先记录下来
    int i, j;
    for(i=0;i<MAXN;++i)flag[i]=false;//全部置假，没访问一个，相应位置真
    for (i = 3; i < MAXN; i+=2){//大于2的偶数一定不是素数，所以只要判断奇数即可
        if (!flag[i])//如果是素数
        {
            primes[pi++] = i;
            for (j = i; j < MAXN; j += i)//i的倍数一定都不是素数
                flag[j] = true;
        }
    }
    for(i=0;i<pi;++i)
        cout<<primes[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

这里使用了素数表，每一个bool型占用1个字节，共8位二进制位。而且这里除了多用了很多的无用bool变量在flag数组里，可以看到，我们使用的flag数组只用到2号位之后的所有奇数位。因此，这里可以进行压缩改进一下：

1. 将flag数组减少一半
2. 使用位操作符使空间占用减少为原来的八分之一

这里使用到对指定位置置1的操作：对于一个整数X可以通过将1左移n位后，与X进行或操作，使X的第n位置1。

int X=0;
int n=10;
X |= 1<< n; // 将 X 的第 n 位置 1

所以根据上面两条，优化后的代码如下：

void getPrime_2()
{    
    const int MAXN = 200;
    const int BitN=(MAXN/2)/32+1;//   
    int flag[BitN];
    int primes[MAXN / 3 + 1], pi=0;
    primes[pi++]=2;  //2 是一个素数，先记录下来
    int i, j; 
    for(i=0;i<BitN;++i)flag[i]=0;//全置0，每访问过一个，相应位置1
    for (i = 3; i < MAXN; i+=2){ //大于2的偶数一定不是素数，所以只要判断奇数即可
        if (!((flag[(i/2) / 32] >> ((i/2) % 32)) & 1))
        {
            primes[pi++] = i;
            //i的倍数一定都不是素数，其中，j加上一个i后为偶数，上一级已经不考虑了，所以还要加上一个i
            for (j = i; j < MAXN; j =j+i+i)
                flag[(j/2) / 32] |= (1 << ((j/2) % 32));
        }
    }
    for(i=0;i<pi;++i)
        cout<<primes[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

首先，根据最大数，判断需要32的整型多少个：

BitN=(MAXN/2)/32+1;

MAXN/2去除了所有偶数位，(MAXN/2)/32+1代表需要多少32位的整型。
其次，所有求位的操作，都要除以2以去除偶数位的影响。
同时：

for (j = i; j < MAXN; j =j+i+i)
                flag[(j/2) / 32] |= (1 << ((j/2) % 32));

其中的 j=j+i+i; 是因为 j 和 i 本身都是一个奇数，相加后为偶数，不考虑，所以还要加上一个 i 。
通过这种方式，缩小了占用空间。
代码文件

注：

当 MAXN=200 时，实际的素数只有45个，但primes的大小却是66，那么这里怎么能更进一步的优化呢？

附：

由于这里使用的C++，那么为什么不使用STL中已有的容器类bitset呢：

#include <bitset>
void getPrime_3(){
    const int MAXN = 100;
    bitset<(MAXN/2+1)> flag(0); //不考虑偶数位
    int primes[MAXN / 3 + 1], pi=0;
    primes[pi++]=2;
    int i, j;
    for (i = 3; i < MAXN; i+=2){ //大于2的偶数一定不是素数，所以只要判断奇数即可
        if (!(flag.test(i/2)))//如果对应位为false
        {
            primes[pi++] = i;
            //i的倍数一定都不是素数，其中，j加上一个i后为偶数，上一级已经不考虑了，所以还要加上一个i
            for (j = i; j < MAXN; j =j+i+i)
                flag.set(j/2);//设置对应位为true
        }
    }
    for(i=0;i<pi;++i)
        cout<<primes[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

可以看到，使用STL的代码还是比较简洁的！

下面去除重复计算的部分

刚才已经将偶数的计算去除了，但仍然还会有一部分的重复计算，比如：
i=3时，会访问15，同时，当i=5时，也会访问15。
先上代码：

void getPrime_4()
{
    const int MAXN = 100;
    bitset<(MAXN/2+1)> flag(0); //不考虑偶数位
    int primes[MAXN / 3 + 1], pi=0;
    primes[pi++]=2;
    int i, j;
    for (i = 3; i < MAXN; i+=2)
    {
        if (!(flag.test(i/2)))
            primes[pi++] = i;
        for (j = 1; (j < pi)  && (i * primes[j] < MAXN); j++) // 1
        {
            flag.set(i*primes[j]/2);
            if (i % primes[j] == 0) // 2
                break;
        }
    }
    
    for(i=0;i<pi;++i)
        cout<<primes[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

注释 1 表示让当前奇数和已经查出来的素数进行逐个相乘，相乘后的结果数肯定不是素数！
注释 2 对于任何数来说，如果它如果是该素数的倍数那么它就不能再与素数表中该素数之后的素数相乘了，如9是3的倍数，所以在9*3之后就不能再去用计算9*5了。
当数据量很大时，getPrime_4() 和 getPrime_1()的差别将在时间和空间上是很大的！

如果阅读效果不好，请查看GitHub对应页面：

使用位操作符求素数

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