比较向量余弦相似度的简易方法
最近基于知识嵌入的LLM应用非常热门，此类应用中的一个重要环节是计算Embeddings间的相似度：通过召回与Query Embedding相似的数据块嵌入向量，得到与用户Query相关的知识片段，从而为LLM问答提供引文支撑。向量相似度有多种度量方式，而余弦相似度是其中比较常用的一种。
余弦相似度的定义为：
\[cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}
\]
其中：
- \(\theta\)：向量A和B之间的角度
- \(A \cdot B\)：向量A和B的内积(Dot Product)
- \(|A|\)，\(|B|\)：向量A和B的欧几里德长度(L2 Norm)
根据定义式可知，当\(|A|\)和\(|B|\)固定时，余弦相似度\(cos(\theta)\)仅与内积\(A \cdot B\)成正比。
也就是说，如果我们只关心两个向量余弦相似度的大小关系，而不需要计算出精确的余弦相似度值，那么可以仅通过比较两个向量的内积大小来进行定性判断。
具体而言，对于向量A和B：
- 如果\(A \cdot B\)较大，则\(A\)和\(B\)较为相似，余弦相似度较高
- 如果\(A \cdot B\)较小，则\(A\)和\(B\)较为不相似，余弦相似度较低
这为一些机器学习算法的设计提供了可能，例如用内积替代余弦相似度来判定最相似样本，从而简化计算过程。
在Transformer模型中，Attention机制用来计算query和key的相关性分数，该机制的核心公式为：
\[Attention(Q,K,V) = Softmax(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}})V
\]
其中：
- \(Q\)：Query向量
- \(K\)：Key向量
- \(V\)：Value向量
- \(d_k\)：Key向量的维度
核心相关性分数计算过程为\(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\)，这里的\(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\)实际上计算的是query和key的内积，再进行缩放。
根据上述结论，我们知道内积的大小反映了两个向量的余弦相似度。即\(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\)反映了query和key向量之间的相似程度。
因此，Transformer的Attention机制也利用了两个向量内积的大小关系来比较余弦相似度，从而实现查询与键的相关性计算。
