bzoj 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和【NTT】
暴力推式子推诚卷积形式，但是看好多blog说多项式求逆不知道是啥..
\[\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}S(i,j)*2^j*j!
\]
\[S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*C_j^k*(j-k)^i
\]
\[S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i
\]
\[\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i*2^j*j!
\]
\[\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i*2^j
\]
\[\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{1}{k!(j-k)!}*\sum_{i=0}^{n}(j-k)^i
\]
\[\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{\sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!}
\]
设
\[a[k]=\frac{(-1)^k}{k!},b[k]=\frac{\sum_{i=0}^{n}k^i}{k!}
\]
\[\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{k=0}^{j}a[k]*b[j-k]
\]
于是就得到了卷积形式，可以上NTT了
顺便根据等比数列求和公式，\(\sum_{i=0}{i}kn=\frac{k^{n+1}-1}{k-1} \)
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=300005,mod=998244353,G=3;
int n,fac[N],inv[N],fi[N],a[N],b[N],re[N],lm,bt,ans;
int ksm(int a,int b)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1)
r=1ll*r*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return r;
}
void dft(int a[],int f)
{
for(int i=0;i<lm;i++)
if(i<re[i])
swap(a[i],a[re[i]]);
for(int i=1;i<lm;i<<=1)
{
int wi=ksm(G,(mod-1)/(i<<1));
if(f==-1)
wi=ksm(wi,mod-2);
for(int k=0;k<lm;k+=(i<<1))
{
int w=1,x,y;
for(int j=0;j<i;j++)
{
x=a[j+k];
y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;
a[j+k]=((x+y)%mod+mod)%mod;
a[i+j+k]=((x-y)%mod+mod)%mod;
w=1ll*w*wi%mod;
}
}
}
if(f==-1)
{
int ni=ksm(lm,mod-2);
for(int i=0;i<lm;i++)
a[i]=1ll*a[i]*ni%mod;
}
}
void ntt()
{
bt=1;
for(;(1<<bt)<=2*n;bt++);
lm=(1<<bt);
for(int i=0;i<=lm;i++)
re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
dft(a,1);
dft(b,1);
for(int i=0;i<lm;i++)
a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
dft(a,-1);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
inv[1]=1,fac[0]=fi[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i!=1)
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
fi[i]=fi[i-1]*inv[i]%mod;
}
a[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=((i&1)?-1:1)*fi[i];
b[0]=1,b[1]=n+1;
for(int i=2;i<=n;i++)
b[i]=1ll*(ksm(i,n+1)-1)*inv[i-1]%mod*fi[i]%mod;
ntt();
for(int i=0;i<=n;i++)
ans=(ans+1ll*fac[i]*ksm(2,i)%mod*a[i]%mod)%mod;
printf("%d",(ans%mod+mod)%mod);
return 0;
}
