bzoj 1951: [Sdoi2010]古代猪文 【中国剩余定理+欧拉定理+组合数学+卢卡斯定理】

首先化简，题目要求的是

\[G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}}\%p \]

对于乘方形式快速幂就行了，因为p是质数，所以可以用欧拉定理

\[G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}\%\varphi(p)} \]

\[G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}\%p-1} \]

因为p-1不是质数，所以把它质因数分解为2,3,4679,35617，最后用中国剩余定理合并即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int p=999911659,N=50005;
int g,n,m[5],fac[5][N],t[5]={2,3,4679,35617};
int read()
{
	int r=0,f=1;
	char p=getchar();
	while(p>'9'||p<'0')
	{
		if(p=='-')
			f=-1;
		p=getchar();
	}
	while(p>='0'&&p<='9')
	{
		r=r*10+p-48;
		p=getchar();
	}
	return r*f;
}
int ksm(long long a,int b,int p)
{
	long long r=1ll;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			r=r*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
int C(int n,int m,int x)
{
	if(n<m)
		return 0;
	return fac[x][n]*ksm(fac[x][n-m]*fac[x][m],t[x]-2,t[x])%t[x];
}
int lucas(int n,int m,int x)
{
	return !m?1:C(n%t[x],m%t[x],x)*lucas(n/t[x],m/t[x],x)%t[x];
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int wk()
{
	int a,b,x,y;
	a=t[0],b=m[0];
	for(int i=1;i<4;i++)
	{
		exgcd(a,t[i],x,y);
		x=(((m[i]-b)*x)%t[i]+t[i])%t[i];
		b=b+a*x;
		a=a*t[i];
	}
	return b;
}
int main()
{
	for(int i=0;i<4;i++)
	{
		fac[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=t[i];j++)
			fac[i][j]=fac[i][j-1]*j%t[i];
	}
	n=read(),g=read();
	if(g==p)
	{
		puts("0");
		return 0;
	}
	g%=p;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)
		{
			int now=n/i;
			for(int j=0;j<4;j++)
			{
				if(now!=i)
					m[j]=(m[j]+lucas(n,i,j))%t[j];
				m[j]=(m[j]+lucas(n,now,j))%t[j];
			}
		}
	printf("%d\n",ksm(g,wk(),p));
	return 0;
}