51nod 1244 莫比乌斯函数之和 【莫比乌斯函数+杜教筛】

和bzoj 3944比较像，但是时间卡的更死
设\( f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \)，然后很显然对于mu\( g(n)=1\)，对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \)，然后可以这样转化一下：

\[g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\mu(d) \]

\[=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \]

\[=\sum_{d=1}^{n}s(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) \]

\[s(n)=g(n)-\sum_{d=2}^{n}s(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) \]

然后递归求解即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long N=5000005,m=4500000;
long long mb[N],tot,q[N],p[N];
long long l,r;
bool v[N];
long long getp(long long x,long long n)
{
	return (x<=m)?mb[x]:p[n/x];
}
void slv(long long x,long long n)
{
	if(x<=m)
		return;
	long long t=n/x;
	if(v[t])
		return;
	v[t]=1;
	p[t]=1;
	for(long long i=2,la;la<x;i=la+1)
	{
		la=x/(x/i);
		slv(x/i,n);
		p[t]-=getp(x/i,n)*(la-i+1);
	}
}
long long wk(long long n)
{
	if(n<=m)
		return mb[n];
	memset(v,0,sizeof(v));
	slv(n,n);
	return p[1];
}
int main()
{
	mb[1]=1;
	for(long long i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			q[++tot]=i;
			mb[i]=-1;
		}
		for(long long j=1;j<=tot&&i*q[j]<=m;j++)
		{
			long long k=i*q[j];
			v[k]=1;
			if(i%q[j]==0)
			{
				mb[k]=0;
				break;
			}
			mb[k]=-mb[i];
		}
	}
	for(long long i=1;i<=m;i++)
		mb[i]+=mb[i-1];
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	printf("%lld\n",wk(r)-wk(l-1));
	return 0;
}