51nod 1239 欧拉函数之和【欧拉函数+杜教筛】

和bzoj 3944比较像，但是时间卡的更死
设\( f(n)=\sum_{d|n}\phi(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i) \)，然后很显然对于mu\( g(n)=1\)，对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \)，然后可以这样转化一下：

\[g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\phi(d) \]

\[=\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \]

\[=\sum_{d=1}^{n}s(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) \]

\[s(n)=g(n)-\sum_{d=2}^{n}s(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) \]

然后递归求解即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long N=5000005,m=5000000,mod=1e9+7,inv2=500000004;
long long n,phi[N],q[N],tot,p[N];
bool v[N];
long long getp(long long x)
{
	return (x<=m)?phi[x]:p[n/x];
}
void wk(long long x)
{//cout<<x<<endl;
	if(x<=m)
		return;
	long long t=n/x;
	if(v[t])
		return;
	v[t]=1;
	long long w=x%mod;
	p[t]=w*(w+1)%mod*inv2%mod;//cout<<x<<" "<<t<<endl;
	for(long long i=2,la=1;la<x;i=la+1)
	{
		la=x/(x/i);
		wk(x/i);
		p[t]=(p[t]-getp(x/i)*(la-i+1)%mod)%mod;
	}
}
int main()
{
	phi[1]=1;
	for(long long i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			q[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(long long j=1;j<=tot&&i*q[j]<=m;j++)
		{
			long long k=i*q[j];
			v[k]=1;
			if(i%q[j]==0)
			{
				phi[k]=phi[i]*q[j];
				break;
			}
			phi[k]=phi[i]*(q[j]-1);
		}
	}
	for(long long i=2;i<=m;i++)
		phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
	scanf("%lld",&n);//cout<<n<<" "<<n%mod<<" "<<(n+1)%mod<<endl;
	//g=(n%mod)*((n+1)%mod)%mod*inv2%mod;//cout<<g<<endl;
	if(n<=m)
		printf("%lld\n",phi[n]);
	else
	{
		memset(v,0,sizeof(v));
		wk(n);
		printf("%lld\n",(p[1]%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}