【NOIP2013】花匠
描述
花匠栋栋种了一排花,每株花都有自己的高度。花儿越长越大,也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走,将剩下的留在原地,使得剩下的花能有空间长大,同时,栋栋希望剩下的花排列得比较别致。
具体而言,栋栋的花的高度可以看成一列整数h1, h2, … , hn。设当一部分花被移走后,剩下的花的高度依次为g1, g2, … , gm,则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足:
条件 A:对于所有的1 <= i < n / 2,g_2i > g_2i−1,且g_2i > g_2i+1;
条件 B:对于所有的1 <= i < n / 2,g_2i < g2i−1,且g_2i < g_2i+1。
此处2i及2i-1,2i+1都为下标。
注意上面两个条件在m = 1时同时满足,当m > 1时最多有一个能满足。
请问,栋栋最多能将多少株花留在原地。
格式
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n,表示开始时花的株数。
第二行包含 n 个整数,依次为h1, h2,… , hn,表示每株花的高度。
输出格式
输出一行,包含一个整数 m,表示最多能留在原地的花的株数。
限制
每个测试点1s。
提示
对于 20%的数据,n ≤ 10;
对于 30%的数据,n ≤ 25;
对于 70%的数据,n ≤ 1000,0 ≤ hi ≤ 1000;
对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤ hi ≤ 1,000,000,所有的h_i随机生成,所有随机数服从某区间内的均匀分布。
来源
NOIP 2013 提高组 day 2
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int N,H[MAXN],dp[MAXN][3];
int main()
{
scanf("%d",&N);
for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&H[i]);
dp[1][0]=dp[1][1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if(H[i]>H[j])dp[i][0]=max(dp[j][1]+1,dp[i][0]);
if(H[i]<H[j])dp[i][1]=max(dp[j][0]+1,dp[i][1]);
if(dp[i][0]!=1 && dp[i][1]!=1)break;
}
printf("%d",max(dp[N][0],dp[N][1]));
return 0;
}
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解题报告
看到此题首先想到可能是要使用动态规划算法来解,所以当我的学生还没有任何思路的时候,我就已经开始构造动态规划了,刚开始,我的思路是这样子的:
1、令S[i][1]表示以i为结尾,且降序到达a[i]的最长抖动序列长度;令S[i][0]表示以i为结尾,且升序到达a[i]的最长抖动序列长度。则有如下递推公式:
S[i+1][1]=max(S[j][0])+1,i>=j>=1,a[j]>a[i+1],
S[i+1][0]=max(S[j][1])+1,i>=j>=1,a[j]<a[i+1],
S[1][1]=S[1][0]=1。
则最终答案应该是max(S[n][1],S[n][0])。
一直不知道如何优化max(S[j][0/1])的值,因此这样的DP时间复杂度将是O(n^2)的,考虑到70%的数据n<=1000,我想骗骗分数的话,我还是可以搞70分的,于是我按照 此思路写了一个代码: