NOIP 2014 联合权值
题目描述
无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。
请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？
输入输出格式
输入格式：
输入文件名为link .in。
第一行包含1 个整数n 。
接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。
最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。
输出格式：
输出文件名为link .out 。
输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值
和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。
输入输出样例
说明
本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。
其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。
【数据说明】
对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；
对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；
对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。
这个题以乱搞为主。
我们可以发现直接枚举一个点两边的点就相当于同时枚举两点了，所以我们直接枚举一个点两边的点。考虑这样复杂度还是太高（n^2），我们尝试优化。
首先，对于一个点的最大的联合权值，一定是其所有出点权值中最大和次大的乘积（如果只有一个，则次大不存在，联合权值为0），我们可以在枚举点的时候顺便处理出最大和次大值来。其次，对于一个点的联合权值之和，为Σw[i]*w[j],(i,j为点u的出点，且i,j有序)，我们从这个式子中不难发现，一个出点i可以和点u的任意一个出点j（i≠j）产生一定的联合权值，总的来说就是i对答案的贡献为w[i]*（w[j1]+w[j2]+...+w[jd]）（在这个式子中不含w[i]）,（d为u的出度），如果令sum表示u的所有出点的权值之和，那么i对答案的贡献也可以写成w[i]*(sum-w[i]),那么，我们可以预处理出sum来，然后对出点进行一次遍历，计算出所有的w[i]*(sum-w[i])，则Σw[i]*(sum-w[i])，就是点u对答案的贡献。最后相加即可。
这题的难点就在于开脑洞，和各种数学知识乱搞就行了。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<queue> using namespace std; const int N=2e5+5; inline int read() { int ret=0,f=1; char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') {ret=ret*10+c-'0';c=getchar();} return ret*f; } int n; struct edge{ int from,to; }e[N<<1]; int head[N],nxt[N<<1],tot=0; void adde(int f,int t) { e[++tot]=(edge){f,t}; nxt[tot]=head[f]; head[f]=tot; } int w[N]; int maxw=0,sumw=0; const int mod=10007; void solve() { for(int i=1;i<=n;i++) { int fir=0,sec=0; int sum=0; for(int j=head[i];j;j=nxt[j]) { int v=e[j].to; if(w[v]>=fir) { if(w[v]==fir) sec=fir; fir=w[v]; } else { sec=max(sec,w[v]); } sum+=w[v]; sum%=mod; } maxw=max(maxw,fir*sec); for(int j=head[i];j;j=nxt[j]) { int v=e[j].to; sumw=(sumw%mod+(w[v]%mod)*(((sum%mod-w[v]%mod)+mod)%mod))%mod; sumw%=mod; } } } int main() { n=read(); int a,b; for(int i=1;i<=n-1;i++) { a=read(),b=read(); adde(a,b); adde(b,a); } for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read(); solve(); printf("%d %d",maxw,sumw%mod); return 0; }
