2019南京网络赛 K Sum
Define function
fn(k)=n∑l1=1n∑l2=1...n∑lk=1(gcd(l1,l2,...,lk))2fn(k)=∑l1=1n∑l2=1n...∑lk=1n(gcd(l1,l2,...,lk))2.
Given n(1≤n≤109),k(2≤k≤10105)n(1≤n≤109),k(2≤k≤10105), please calculate
k∑i=2fn(i)∑i=2kfn(i)
modulo 109+7109+7.
Input
There are multiple test cases, the first line contains an integer T(1≤T≤10)T(1≤T≤10), denoting the number of test cases.
For the next TT lines, each line contains two integers n(1≤n≤109)n(1≤n≤109) and k(2≤k≤10105)k(2≤k≤10105).
Output
For each test case, print one line contains an integer, which is the value of ∑ki=2fn(i)∑i=2kfn(i).
Sample Input
2
2 2
100 3
Sample Output
7
4331084
题意：给定函数
求：
的值。
（其中，\(n\leqslant 10^9\),\(k\leqslant 10^{10^5}\)）。
题解：
究极变态数论缝合怪题目，我们一点一点的去剖析。
先搞搞\(f_n(k)\)，发现
老套路了，我们令\(T=dp\),则：
再令
显然\(F\)是一个积性函数，我们可以写成卷积的样子：
这个式子很重要，待会用杜教筛的时候会用到。
我们先去推\(F\)的线性筛递推公式，考虑
发现只有当\(d=1,p_i\)时，函数值不为\(0\)，其他的时候函数的值都为\(0\)。
故
所以我们现在推出了函数\(F\)的线性筛递推式：
初始条件
但是我们这还是无法处理高于一亿的数据（线性筛的复杂度所致），所以对于更高的数据范围我们要用杜教筛，还是推一下杜教筛的式子，我们利用上面说的那个卷积式：
两边同时卷积上\(I\)得：
所以我们选定
这两个函数都可以快速计算，于是杜教筛部分也就成了。
但是，这个问题还没结束，我们仅仅是找到了\(f_n(k)\)的计算方法，但是我们实际是要算
但其实也还好，我们再把式子重新写一遍
交换求和顺序
发现
可以直接套用等比数列求和公式计算，但是要特别注意公比为1的情况，此时要化为等差数列求和公式计算，不再赘述。
另外由于我们在用等比数列求和公式的时候难免会碰到计算形如\(q^k\)的形式，其中\(k\)又特别大，大到需要用高精度处理，这时候我们就必须用欧拉定理去处理高精度幂取模，这里的欧拉定理指的是
我们一边输入一边取模就可以了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;//simplify long long
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
#define inf 2147483647
#define pi 3.14159265358979
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; i ++)
#define lop(i, r, l) for(int i = r; i >= l; i --)
#define step(i, l, r, __step) for(int i = l; i <= r; i += __step)
#define revp(i, r, l, __step) for(int i = r; i >= l; i -= __step)
#define reg regsiter
#define RI regsiter int
#define RL regsiter long long
#define rerep(i, l, r) for(regsiter int i = l; i <= r; i ++)
#define relop(i, r, l) for(regsiter int i = r; i >= l; i --)
#define i8 __int128
#define __int128 ll//don't forget delete it in contest!
inline int read()//fast read
{
int ret = 0, sgn = 1;
char chr = getchar();
while(chr < '0' || chr > '9')
{if(chr == '-') sgn = -1; chr = getchar();}
while(chr >= '0' && chr <= '9')
{ret = ret * 10 + chr - '0'; chr = getchar();}
return ret * sgn;
}
i8 write(i8 x)//int128's output
{
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
const int N = 6e6 + 50;
const int M = 9e5 + 5;
int prime[N], cnt;
bool vis[N];
const ll mod = 1e9 + 7;
ll f[N], sumf[N];
tr1::unordered_map<ll, ll> wf;
inline ll ksm(ll x, ll y)
{
ll ret = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ret *= x, ret %= mod;
x *= x, x %= mod;
y >>= 1;
}
return ret;
}
ll inv6;
void shai(int x)
{
f[1] = 1;
rep(i, 2, x)
{
if(!vis[i])
{
prime[++ cnt] = i;
f[i] = (1ll * i * i - 1) % mod;
}
rep(j, 1, cnt)
{
if(i * prime[j] > x) break;
vis[i * prime[j]] = 1;
if(!(i % prime[j]))
{
f[i * prime[j]] = f[i] * prime[j] % mod * prime[j] % mod;
break;
}
f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]] % mod;
}
}
rep(i, 1, x)
sumf[i] = sumf[i - 1] + f[i], sumf[i] %= mod;
}
ll djsf(int x)
{
if(x <= N - 10) return sumf[x];
if(wf[x]) return wf[x];
ll ret = 1ll * x * (x + 1) % mod * (2ll * x + 1) % mod * inv6 % mod;
for(int l = 2, r; l <= x; l = r + 1)
{
r = x / (x / l);
ret += mod - djsf(x / l) * (r - l + 1) % mod;
ret = (ret % mod + mod) % mod;
}
ret %= mod;
return wf[x] = ret;
}
inline ll inv(ll x)
{
return ksm(x, mod - 2);
}
ll K, P;
inline ll calc(ll x)
{
if(x == 1) return (P - 1 + mod) % mod;
else return x * (ksm(x, K) - x + mod) % mod * inv(x - 1) % mod;
}
int main()
{
int T;
T = read();
inv6 = ksm(6, mod - 2);
shai(N - 10);
while(T --)
{
int n;
scanf("%d", &n);
char t = getchar();
K = 0, P = 0;
while(1)
{
t = getchar();
if(t == '\n') break;
K = K * 10 + t - '0';
P = P * 10 + t - '0';
K %= mod - 1;
P %= mod;
}
ll ans = 0, d, S;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
ans += (djsf(r) - djsf(l - 1) + mod) % mod * calc(n / l) % mod;
ans %= mod;
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
