[随便写写]神奇的二维差分

二维差分，是相对于二维前缀和来的，它是一种可以支持\(O(1)\)修改，单次求值\(O(n)\)的一种特殊结构，它适用于需要多次修改，而求和次数很少的情况。

那么问题来了，给定二维数组\(a[n][m]\)，它对应的二维差分数组怎么构造呢？类比一维数组差分的构造式\(d[i]=a[i]-a[i-1]\),我们可以类比得到二维差分的构造式：

\[d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1] \]

这个构造式可能有点难理解，原理我也不知道该怎么形容（反正我直觉如此），然后验证一下这个式子也是对的（记住就好）。

然后接下来是修改操作，假设我们要修改区域\(R:(i,j)\sim(i',j')\)，\(i'\geqslant i,j'\geqslant j\)，我们对差分数组进行如下的变换：

\[d[i][j]+=v \]

\[d[i'+1][j]-=v \]

\[d[i][j'+1]-=v \]

\[d[i'+1][j'+1]+=v \]

然后就视为对区域\(R\)进行了一次加值修改。

到查询的时候，就直接对整个差分数组求一遍二维前缀和就行了。