EOJ 数三角形

3618. 数三角形

题面统计数据讨论

单点时限: 2.0 sec

内存限制: 256 MB

求在 n×n 矩形内(包括边界)整点三角形有多少个。由于答案可能很大,对于 109+7 取模。

输入格式

第一行一个整数 n (1≤n≤2⋅106) 表示矩形的宽与高。

输出格式

一个整数 x。

样例

input

2

output

76

input

5

output

6768

提示

做不出来可以试试打表找规律?

题解:这个题貌似只有4个人在eoj做出来。。。看着也挺难的,光气场就难住了。。。

但其实,这道题并不难,就是有一些繁琐罢了(甚至可以说连繁琐都算不上)。

分析一下,首先这是一道推数学公式的题,数格点三角形。我们很容易想到在格点上能构成三角形的条件是三个顶点不共线,其余的情况都可以构成三角形,原因很显然,在平面上画三个点能构成三角形的条件也是如此。我们发现正着做不好做,于是我们就反着做,考虑三点共线的情况:只有三种情况,三点竖着,三点横着,三点斜着,横竖很好用组合数解决,于是现在就只有斜着的了。

考虑斜着的两个点,中间不会夹着其他点的充要条件是

\[gcd(x,y)=1 \]

其中,x,y分别为两点间横纵坐标差。

当两个点夹着中间点的情况,点数恰好为

\[gcd(x,y)-1 \]

所以这样我们初步可以用四个计数变量去算这个式子(因为一个点就有两个维度),但是显然不行。我们发现有很多情况是相似的,点的位置只是平移了一段,所以我们不妨直接将靠下的点设为(0,0),然后最上的点可以用两个计数变量枚举,可以设为(i,j),然后两点形成的矩形可以嵌入到正方形中,共有

\[(n-i+1)(n-j+1) \]

种方案。

嵌入的方案中再去选中间点,一共有

\[(n-i+1)(n-j+1)(gcd(i,j)-1) \]

种方案。

合起来就是

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n-i+1)(n-j+1)(gcd(i,j)-1) \]

我们现在只是枚举了斜率为正的情况,而斜率为负数是个镜像问题,方案数与为正相同,所以前面还要乘以2.

这样枚举的复杂度是

\[O(n^2) \]

的,对于和这个题差不多的一道CQOI的题复杂度是够用的。但是对于本题,

\[n\leqslant 2\cdot10^6 \]

是远远不够的,所以我们必须把算法进一步优化,我这里用的是一种笨方法,强行把这个式子拆成8份。

记:

\[A=(n+1)^2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j) \]

\[B=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j) \]

\[C=-(n+1)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nigcd(i,j) \]

\[D=-(n+1)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^njgcd(i,j) \]

\[E=n^2(n+1)^2 \]

\[F=S_3(n),S_3(n)=\sum_{k=1}^nk^3 \]

\[G=-n(n+1)S_1(n),S_1(n)=\sum_{k=1}^nk \]

\[H=-n(n+1)S_1(n),S_1(n)=\sum_{k=1}^nk \]

答案就是

\[A+B+C+D-E-F-G-H \]

其中E,F,G,H都是常数,可以直接算,对于A,B,C,D

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d|gcd(i,j)}\phi(d)=\sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{i=1}^n[d|i]\sum_{j=1}^n[d|j]=\sum_{d=1}^n\phi(d)\lfloor\frac nd\rfloor\lfloor\frac nd\rfloor \]

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{i=1}^ni[d|i]\sum_{j=1}^nj[d|j]=\sum_{d=1}^nd^2\phi(d)S_1(n/d)S_1(n/d) \]

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nigcd(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^njgcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\phi(d)S_1(n/d) \]

可以直接扫一遍计算,也可以除法分块

\[O(\sqrt n) \]

计算。

事实上,这题的数据还可以开到更大,例如

\[n\leqslant 10^9 \]

然后用杜教筛求解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;//simplify long long
typedef unsigned long long ull;
#define inf 2147483647
#define pi 3.14159265358979
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; i ++)
#define lop(i, r, l) for(int i = r; i >= l; i --)
#define step(i, l, r, __step) for(int i = l; i <= r; i += __step)
#define revp(i, r, l, __step) for(int i = r; i >= l; i -= __step)
#define regsiter reg
#define regsiter int RI
#define regsiter long long RL
inline int read()//fast read
{
	int ret = 0, sgn = 1;
	char chr = getchar();
	while(chr < '0' || chr > '9')
	{if(chr == '-') sgn = -1; chr = getchar();}
	while(chr >= '0' && chr <= '9')
	{ret = ret * 10 + chr - '0'; chr = getchar();}
	return ret * sgn;
}
const int N = 2e6 + 50;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll inv6;
int prime[N], cnt, phi[N];
ll sumphi[N], sum2[N], sum1[N];
bool vis[N];
void shai(int x)
{
	phi[1] = 1;
	rep(i, 2, x)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++ cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		rep(j, 1, cnt)
		{
			if(i * prime[j] > x) break;
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(!(i % prime[j]))
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
	rep(i, 1, x)
	{
		sumphi[i] = sumphi[i - 1] + phi[i], sumphi[i] %= mod;
		sum2[i] = sum2[i - 1] + 1ll * i * i % mod * phi[i] % mod, sum2[i] %= mod;
		sum1[i] = sum1[i - 1] + 1ll * i * phi[i] % mod, sum1[i] %= mod;
	}
}
ll ksc(ll x, ll y)
{
	ll ret = 0;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ret += x, ret %= mod;
		x += x, x %= mod;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}
ll ksm(ll x, ll y)
{
	ll ret = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ret *= x, ret %= mod;
		x *= x, x %= mod;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}
ll s1(ll x)
{
	return (x * (x + 1) / 2) % mod;
}
ll s2(ll x)
{
	return x * (x + 1) % mod * (2 * x + 1) % mod * inv6 % mod;
}
ll s3(ll x)
{
	return (x * (x + 1) / 2) % mod * ((x * (x + 1) / 2) % mod) % mod;
}
ll c3(ll x)
{
	if(x < 3) return 0;
//	x %= mod;
	return x % mod * (x - 1) % mod * (x - 2) % mod * inv6 % mod;
}
int main()
{
	ll n;
	inv6 = ksm(6, mod - 2);
	shai(N - 10);
	scanf("%lld", &n);
	ll sumA = 0, sumB = 0, sumC = 0;
	for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
	{
		r = min(n / (n / l), n);
		sumA += (sumphi[r] - sumphi[l - 1] + mod) % mod * 1ll * (n / l) % mod * 
		(n / l) % mod;
		sumA %= mod;
	}
	sumA *= 1ll * (n + 1) % mod * (n + 1) % mod, sumA %= mod;
	for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
	{
		r = min(n / (n / l), n);
		sumB += (sum2[r] - sum2[l - 1] + mod) % mod * s3(n / l) % mod;
		sumB %= mod;
	}
//	cout << sumB << endl;
	for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
	{
		r = min(n / (n / l), n);
		sumC += (sum1[r] - sum1[l - 1] + mod) % mod * s1(n / l) % mod * (n / l) % mod;
		sumC %= mod;
	}
	sumC = ksc(sumC, n + 1);
	sumC *= -2;
//	sumC *= -2ll * (n + 1);
	sumC = (sumC % mod + mod) % mod;
//	cout << sumC << endl;
	ll sumE = 1ll * n * n % mod * (n + 1) % mod * (n + 1) % mod;
	sumE %= mod;
	ll sumF = s3(n);
	ll sumG = -sumE;
//	ll sumG = -2ll * n * (n + 1) % mod * s1(n);
	sumG = (sumG % mod + mod) % mod;
	ll SS = (sumA + sumB) % mod;
	SS += sumC, SS %= mod;
	ll TT = (sumE + sumF) % mod;
	TT += sumG, TT %= mod;
//	SS -= sumE, (SS += mod) %= mod;
//	SS -= sumF, (SS += mod) %= mod;
//	SS -= sumG, (SS += mod) %= mod;
	SS -= TT, SS = (SS % mod + mod) % mod;
//	cout << SS << endl;
	SS *= 2, SS %= mod;
	ll m = n + 1;
	SS += 2ll * ksc(m, c3(m)) % mod, SS %= mod;
	SS = (SS % mod + mod) % mod;
	ll P = m * m % mod;
	ll Q = -SS;
	Q = (Q % mod + mod) % mod;
	ll ans = c3(P) - SS;
//	ll ans = ksc(-SS, c3(P));
	ans = (ans % mod + mod) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}
posted @ 2020-10-24 23:47  Frank喵^_^  阅读(141)  评论(0编辑  收藏  举报