NOI 2012 随机数生成器

题目描述

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数{Xn}：

                       X[n+1]=(aX[n]+c) mod m

其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

输入格式

输入包含6个用空格分割的整数m,a,c,X[0],n和g，其中a,c,X[0]是非负整数，m,n,g是正整数。

输出格式

输出一个数，即X[n] mod g

输入输出样例

输入 #1复制

11 8 7 1 5 3

输出 #1复制

2

说明/提示

计算得X[n]=X[5]=8,故(X[n] mod g) = (8 mod 3) = 2

100%的数据中n,m,a,c,X[0]<=10^18,g<=10^8

 

思路：矩阵快速幂模板题，就是数据范围有点接近longlong上限，所以要用快速乘法边模拟乘法边取模，这样不会莫名其妙的WA。

还是说一下矩阵构造的方法吧。。。。观察到原式是一阶非线性递推（仅带常数），我们这里有个技巧，在添加一行，并且这一行的值为1，然后对2*2的转移矩阵进行填数，这样你会发现，常数问题完美的被解决了（事实上，这也是线代构造带常数项式子的一种方法）。

递推式：

迭代得：

这样就可以愉快的进行矩阵快速幂啦（

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod, aa, cc, x0, n, gg;
struct matrix{
    int col, row;
    ll ma[2][2];
}RT, BA;
ll ksc(ll x, ll y)
{
    ll ret = 0, base = x;
    while(y)
    {
        if(y & 1) ret = (ret % mod + base % mod) % mod;
        base = (base % mod + base % mod) % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}
matrix mult(matrix A, matrix B)
{
    matrix C;
    C.col = B.col;
    C.row = A.row;
    memset(C.ma, 0, sizeof C.ma);
    for(int i = 0; i < A.row; i ++)
        for(int j = 0; j < B.col; j ++)
            for(int k = 0; k < A.col; k ++)
            {
                C.ma[i][j] += ksc(A.ma[i][k], B.ma[k][j]);
                C.ma[i][j] = ((C.ma[i][j] % mod) + mod) % mod;
            }
    return C;
}
matrix mksm(matrix A, ll y)
{
    matrix ret, base = A;
    ret.col = 2, ret.row = 2;
    ret.ma[0][0] = 1, ret.ma[0][1] = 0;
    ret.ma[1][0] = 0, ret.ma[1][1] = 1;
    while(y)
    {
        if(y & 1) ret = mult(ret, base);
        base = mult(base, base);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    BA.col = 1, BA.row = 2;
    BA.ma[0][0] = x0, BA.ma[1][0] = 1;
    RT.col = 2, RT.row = 2;
    RT.ma[0][0] = aa, RT.ma[0][1] = cc;
    RT.ma[1][0] = 0, RT.ma[1][1] = 1;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &mod, &aa, &cc, &x0, &n, &gg);
    init();
    matrix ED = mult(mksm(RT, n), BA);
    ll ans = ED.ma[0][0];
    ans = ((ans % gg) + gg) % gg;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}