初赛_数学题错题总结

2002年 T1

1、在书架上放有编号为1 ，2 ，．．．，n的n本书。现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。

　  例如：n = 3时：

　　　　原来位置为：1 2 3

　　　　放回去时只能为：3 1 2 或 2 3 1 这两种

     问题：求当n = 7时满足以上条件的放法概率是__________

解释：

这里运用到了错排的思想，我在这里大致的讲解一下错排的公式

f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))

其本质就是，在前n-1本书都已经完成错排的情况下，对于第n本书，

我们先简化地把它放在第一个位置，然后在对于第一本书进行分类讨论

（1）把第一本书放在第n位；（2）把第一本书放在2-n-1位

这两种情况，希望读者自行理解或查阅错排公式

因此这道题就是错排数/总数=1854/7!=103/280

 

 

2006年 T1

1、将 2006 个人分成若干不相交的子集，每个子集至少有 3 个人，并且：

(1) 在每个子集中，没有人认识该子集的所有人。

(2) 同一子集的任何 3 个人中，至少有 2 个人互不认识。

(3) 对同一子集中任何 2 个不相识的人，在该子集中恰好只有 1 个人认识这两个人。 则满足上述条件的子集最多能有多少个？

解释:

可以运用图论的思想,把每个人看做一个节点,认识的人就表示两个点相连,那么条件就变成

(1) 每个点集中,没有一个点连向其他所有点

(2) 每个点集中,任意3个点中,至少有两个点之间没有相连

(3) 每个点集中,任何两个没有被相连的点,都刚好只能通过一个点到达

那么我们就可以一个一个进行尝试,

从三角形,到四边形,最后可以发现五边形符合题意.

所以答案即为2006/5=401个

 

 

2007 T2

2、N 个人在操场里围成一圈，将这N 个人按顺时针方向从1 到N 编号，然后，从第一个人起，每隔一个人让下一个人离开操场，显然，第一轮过后，具有偶数编号的人都离开了操场。依次做下去，直到操场只剩下一个人，记这个人的编号为J(N) ，例如，J(5)=3 ，J(10)=5 ，等等。则J(400)=______________。（提示：对 N=2m+r 进行分析，其中 0≤r<2m ）。

解释:

根据题目提示：把N写成2的m次方加上r

那么答案J(n)就是2*r+1

400=2^8+144,则答案是144*2+1=289

 

 

2008 T2

2、书架上有21本书，编号从1到21，从其中选4本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有______种。

解释:我们可以预先选出三本书作为四本书的间隔,所以之后就可以用C(4,18)来做=3060种

 

 

2012 T1

1、 本题中，我们约定布尔表达式只能包含p,q,r三个布尔变量，以及“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（?）三种布尔运算。如果无论p,q,r如何取值，两个布尔表达式的值总是相同，则称它们等价。例如，(p∨q)∨r和p∨(q∨r)等价，p∨?p和q∨?q也等价；而p∨q和p∧q不等价。那么，两两不等价的布尔表达式最多有_________个。

解释:

希望读者不能被题面的复杂所迷惑(就像我一样),

由于无论怎么取，两个式子的值恒等。p,q,r可以取0,1中的任意一个数，总共有2³=8种情况，每种情况对应一个不同的值，0或1。 

因此每种情况都对应一个字符串，保证字符串的值不等，两两都不等价，至少有2^8种取法，因此答案就是256

 

 

2012 T2

2、对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。例如，图1有5个不同的独立集（1个双点集合、3个单点集合、1个空集），图2有14个不同的独立集。那么，图3有_________个不同的独立集。

解释:

这道题可以用树形DP的思想来做

我们用f[i]表示以i为根的子树选i的方案数,而g[i]则是不选i的方案数

那么转移就是f[i]=g[左子树]*g[右子树], g[i]=(f[左子树]+g[左子树])*(f[右子树]+g[右子树]) 

最后答案就是f[根]+g[根]=5536

 

 

2016 T1

1、一个 1×8 的方格图形（不可旋转）用黑、白两种颜色填涂每个方格。如果 每个方格只能填涂一种颜色，且不允许两个黑格相邻，共有_________种填 涂方案。

解释：

你可以通过枚举出前几个的答案，2,3,5,8，发现是一个斐波那契数列

同时用可以用类似动态规划的方法，来推导出是斐波那契数列