数据结构与算法-购物单

题目描述

王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件，且每件物品只能购买一次。

每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。

王强查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍），而他只有 N 元的预算。除此之外，他给每件物品规定了一个重要度，用整数 1 ~ 5 表示。他希望在花费不超过 N 元的前提下，使自己的满意度达到最大。

满意度是指所购买的每件物品的价格与重要度的乘积的总和，假设设第 $i$ 件物品的价格为 $v[i]$ ，重要度为 $w[i]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,...,j_k$ ，则满意度为：$v[j_1]\ast w[j_1]+v[j_2]\ast w[j_2]+\dots +v[j_k]\ast w[j_k]$。（其中 * 为乘号）请你帮助王强计算可获得的最大的满意度。

输入描述：

输入的第 1 行，为两个正整数 N，m，用一个空格隔开：

（其中 N （ N<32000 ）表示总钱数， m （m <60 ）为可购买的物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述：
输出一个正整数，为张强可以获得的最大的满意度。

示例

输入：
50 5
20 3 5
20 3 5
10 3 0
10 2 0
10 1 0

输出：
130

说明：
由第1行可知总钱数N为50以及希望购买的物品个数m为5；
第2和第3行的q为5，说明它们都是编号为5的物品的附件；
第4~6行的q都为0，说明它们都是主件，它们的编号依次为3~5；
所以物品的价格与重要度乘积的总和的最大值为10*1+20*3+20*3=130

问题分析

购物车本质上还是 0-1背包问题，只不过多了主件和附件。假设先不看附件，那么就和 0-1背包一样了。附件不能单独出现，要依赖于主件。

对应于背包问题，主件的个数就是物品的个数，考虑每个主件时要考虑可能出现的情况。

考虑每个物品时要考虑每种可能出现的情况，

1. 主件，
2. 主件+附件1，
3. 主件+附件2，
4. 主件+附件1+附件2，

在以上四种情况中找到最大值就能回归到0-1背包问题。所以我们先考虑一下普通的0-1背包问题。

对于一个可承重 $C$ 的背包，我们假设所有物品的重量数据保存在 $w[]$，所有价值数据保存在 $v[]$。那么我们有以下的推导式：

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[j]]+v[j])$$

那么对于“购物单”这道题，我们可以有如下抽象：

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]，\left\{\text{四种情况产生的价值}\right\})$$

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main(){
    int N, m; // N 奖金 m 物品个数
    cin >> N >> m;
    N /= 10; // 由于所有的价格都是10的整倍数，所以可以均除10以简化运算复杂度

    int price, priority, hasAttachments;
    // 使用一个(m+1)X6的数组存储数据，m+1是根据物品编号，0作废；6考虑可能有附件的最多的情况
    vector<vector<int>> data(m+1, vector<int>(6, 0));

    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> price >> priority >> hasAttachments;
        // 主件
        if(hasAttachments == 0){
            data[i][0] = price/10;
            data[i][1] = priority;
        }
        // 第一个附件
        else if(data[hasAttachments][2] == 0){
            data[hasAttachments][2] = price/10;
            data[hasAttachments][3] = priority;
        }
        // 第二个附件
        else {
            data[hasAttachments][4] = price/10;
            data[hasAttachments][5] = priority;
        }
    }

    vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(N+1, 0));
    for(int i = 1; i < m+1; i++){
        for(int j = 1; j < N+1; j++){
            int pricePrime = data[i][0];
            int priceAtta1 = data[i][2];
            int priceAtta2 = data[i][4];
            
            int priorPrime = data[i][1];
            int priorAtta1 = data[i][3];
            int priorAtta2 = data[i][5];

            dp[i][j] = j >= pricePrime ? max(dp[i-1][j - pricePrime] 
                                            + priorPrime * pricePrime, 
                                            dp[i-1][j]) : dp[i-1][j];
            dp[i][j] = j >= (pricePrime + priceAtta1) ? max(dp[i-1][j - pricePrime - priceAtta1]
                                                        + priorPrime * pricePrime 
                                                        + priorAtta1 * priceAtta1, 
                                                        dp[i][j]) : dp[i][j];
            dp[i][j] = j >= (pricePrime + priceAtta2) ? max(dp[i-1][j - pricePrime - priceAtta2]
                                                        + priorPrime * pricePrime 
                                                        + priorAtta2 * priceAtta2, 
                                                        dp[i][j]) : dp[i][j];
            dp[i][j] = j >= (pricePrime + priceAtta1 + priceAtta2) ? 
                                                        max(dp[i-1][j - pricePrime - priceAtta1 - priceAtta2]
                                                        + priorPrime * pricePrime 
                                                        + priorAtta1 * priceAtta1
                                                        + priorAtta2 * priceAtta2, 
                                                        dp[i][j]) : dp[i][j];
        }
    }
    cout << dp[m][N] * 10 <<endl;
    return 0;
}

转化为01背包问题

在解决完全背包问题时，我们考虑了每个物品可能出现的次数。在解决购物车问题时，每个物品时要考虑每种可能出现的情况，

1. 主件，
2. 主件+附件1，
3. 主件+附件2，
4. 主件+附件1+附件2，

我们将存在的情况当作新的物品，这样购物车问题就可以当作 01 背包问题。