数据结构与算法-跳台阶

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跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

数据范围：\(1 \leq n \leq 40\)

要求：时间复杂度：\(O(n)\) ，空间复杂度： \(O(1)\)

问题分析

设 \(f(n)\) 表示青蛙跳上 \(n\) 级台阶的跳法数。当只有一个台阶时，即 \(n = 1\) 时，只有 1 种跳法；

当 \(n = 2\) 时，有 \(2\) 种跳法； 当 \(n = 3\) 时，有 \(3\) 种跳法；

当 \(n\) 很大时，青蛙在最后一步跳到第 \(n\) 级台阶时，有两种情况：

1. 青蛙在第 \(n-1\) 个台阶跳一个台阶，那么青蛙完成前面 \(n-1\)个台阶，就有 \(f(n-1)\) 种跳法，这是一个子问题。
2. 青蛙在第 \(n-2\) 个台阶跳两个台阶到第 \(n\) 个台阶，那么青蛙完成前面 \(n-2\) 个台阶，就有 \(f(n-2)\) 种情况，这又是另外一个子问题。

两个子问题构成了最终问题的解，所以当 \(n \ge 3\)时，青蛙就有 \(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\) 种跳法。

上面的分析过程，其实我们用到了动态规划的方法，找到了状态转移方程，用数学方程表达如下：

\[f(n) = \begin{cases} 1& \text{ if } n=1 \\ 2& \text{ if } n=2 \\ f(n-1)+f(n-2)& \text{ if } n \ge 3 \end{cases} \]

上面的公式熟不熟悉，是不是跟斐波那契数列长得非常像。实现请参照 斐波那契数列 。