数据结构与算法-跳台阶

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跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

数据范围：$1\le n\le 40$

要求：时间复杂度：$O(n)$ ，空间复杂度： $O(1)$

问题分析

设 $f(n)$ 表示青蛙跳上 $n$ 级台阶的跳法数。当只有一个台阶时，即 $n=1$ 时，只有 1 种跳法；

当 $n=2$ 时，有 $2$ 种跳法； 当 $n=3$ 时，有 $3$ 种跳法；

当 $n$ 很大时，青蛙在最后一步跳到第 $n$ 级台阶时，有两种情况：

1. 青蛙在第 $n-1$ 个台阶跳一个台阶，那么青蛙完成前面 $n-1$个台阶，就有 $f(n-1)$ 种跳法，这是一个子问题。
2. 青蛙在第 $n-2$ 个台阶跳两个台阶到第 $n$ 个台阶，那么青蛙完成前面 $n-2$ 个台阶，就有 $f(n-2)$ 种情况，这又是另外一个子问题。

两个子问题构成了最终问题的解，所以当 $n\ge 3$时，青蛙就有 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ 种跳法。

上面的分析过程，其实我们用到了动态规划的方法，找到了状态转移方程，用数学方程表达如下：

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }n=1\\ 2& \text{ if }n=2\\ f(n-1)+f(n-2)& \text{ if }n\ge 3\end{array}$$

上面的公式熟不熟悉，是不是跟斐波那契数列长得非常像。实现请参照 斐波那契数列 。