数据结构与算法-斐波拉契数列

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斐波那契数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。
斐波那契数列是一个满足 $fib(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }x=1,2\\ fib(x-1)+fib(x-2)& \text{ if }x>2\end{array}$ 的数列。

数据范围：$1\le n\le 40$

要求：空间复杂度 $O(1)$，时间复杂度 $O(n)$ ，本题也有时间复杂度 $O(logn)$ 的解法

解题思路：

递归解法

此解法时间复杂度和空间复杂度都很大，时间复杂度为 $O(2^n)$，空间复杂度为 $O(N)$ 。

递归代码解法正确，但是在牛客网上这道题不能AC，原因是时间复杂度太高。

这里给出递归法的代码：

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0 || n == 1) return n;

        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
};

对于递归解法，可以使用记忆化搜索法优化计算时间：使用一个 map 记忆已经计算过的数。

动态规划解法

时间复杂度为 $O(N)$，空间复杂度为 $O(N)$ 。

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        else if(n == 1 || n == 2) return 1;
        else {
            vector<int> fibArr = vector<int>(n+1, 0);
            fibArr[0] = 0;
            fibArr[1] = 1;
            fibArr[2] = 1;
            for(int i = 3; i <= n; i++) {
                fibArr[i] = fibArr[i-1] + fibArr[i-2];
            }
            return fibArr[n];
        }
    }
};

动态规划比递归效率更高，因为动态规划算法用数组保存已经解出来结果，而递归算法需要反复求解。上面的代码可以继续优化，我们在求解斐波那契数列的第 $N$ 项时，只用到了 $N-1$ 和 $N-2$ 项，无需保存前面所有的答案。这样可以把空间复杂度降为 $O(1)$ 。

通项公式求解

斐波那契数列时可以求出通项公式的：

$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$$

矩阵法(未完成)