数据结构与算法-斐波拉契数列
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题目描述
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。
斐波那契数列是一个满足 \(fib(x)=
\begin{cases}
1 & \text{ if } x= 1,2\\
fib(x-1)+fib(x-2) & \text{ if } x>2
\end{cases}\) 的数列。
数据范围：\(1\leq n\leq 40\)
要求：空间复杂度 \(O(1)\)，时间复杂度 \(O(n)\) ，本题也有时间复杂度 \(O(logn)\) 的解法
解题思路：
递归解法
此解法时间复杂度和空间复杂度都很大，时间复杂度为 \(O(2^n)\)，空间复杂度为 \(O(N)\) 。
递归代码解法正确，但是在牛客网上这道题不能AC，原因是时间复杂度太高。
这里给出递归法的代码：
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if(n == 0 || n == 1) return n;
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}
};
对于递归解法，可以使用记忆化搜索法优化计算时间：使用一个 map 记忆已经计算过的数。
动态规划解法
时间复杂度为 \(O(N)\)，空间复杂度为 \(O(N)\) 。
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if(n == 0) return 0;
else if(n == 1 || n == 2) return 1;
else {
vector<int> fibArr = vector<int>(n+1, 0);
fibArr[0] = 0;
fibArr[1] = 1;
fibArr[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++) {
fibArr[i] = fibArr[i-1] + fibArr[i-2];
}
return fibArr[n];
}
}
};
动态规划比递归效率更高，因为动态规划算法用数组保存已经解出来结果，而递归算法需要反复求解。上面的代码可以继续优化，我们在求解斐波那契数列的第 \(N\) 项时，只用到了 \(N-1\) 和 \(N-2\) 项，无需保存前面所有的答案。这样可以把空间复杂度降为 \(O(1)\) 。
通项公式求解
斐波那契数列时可以求出通项公式的：
\[f(n) = \frac{1}{\sqrt{5} } \left [ \left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right )^n - \left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )^n \right ]
\]
