数据结构与算法 - 堆
堆
堆的一个经典的实现是完全二叉树(complete binary tree)，这样实现的堆称为二叉堆(binary heap)。
这里来说明一下满二叉树的概念与完全二叉树的概念。
满二叉树：除了叶子节点，所有的节点的左右孩子都不为空，就是一棵满二叉树，如下图。
可以看出：满二叉树所有的节点都拥有左孩子，又拥有右孩子。
完全二叉树：不一定是一个满二叉树，但它不满的那部分一定在右下侧，如下图
堆的特性：
- 必须是完全二叉树
- 任一结点的值是其子树所有结点的最大值(大顶堆)或最小值(小顶堆)
最小堆的插入（ADD）
假设现有元素 5 需要插入，为了维持完全二叉树的特性，新插入的元素一定是放在结点 6 的右子树；同时为了满足任一结点的值要小于左右子树的值这一特性，新插入的元素要和其父结点作比较，如果比父结点小，就要把父结点拉下来顶替当前结点的位置，自己则依次不断向上寻找，找到比自己大的父结点就拉下来，直到没有符合条件的值为止。
动画讲解
- 在这里先将元素 5 插入到末尾，即放在结点 6 的右子树。
- 然后与父类比较， 6 > 5 ，父类数字大于子类数字，子类与父类交换。
- 重复此操作，直到不发生替换。
最小堆的删除（DELETE）
核心点：将最后一个元素填充到堆顶，然后不断的下沉这个元素。
假设要从节点 1 ，也可以称为取出节点 1 ，为了维持完全二叉树的特性 ，我们将最后一个元素 6 去替代这个 1 ；然后比较 1 和其子树的大小关系，如果比左右子树大（如果存在的话），就要从左右子树中找一个较小的值替换它，而它能自己就要跑到对应子树的位置，再次循环这种操作，直到没有子树比它小。
通过这样的操作，堆依然是堆，总结一下：
- 找到要删除的节点（取出的节点）在数组中的位置
- 用数组中最后一个元素替代这个位置的元素
- 当前位置和其左右子树比较，保证符合最小堆的节点间规则
- 删除最后一个元素
时间复杂度
对于有 n 个节点的堆来说，其高度 \(d = \log_2{n} + 1\)。 根为第 0 层，则第 \(i\) 层结点个数为 \(2i\)，
考虑一个元素在堆中向下移动的距离。
- 大约一半的结点深度为 \(d-1\) ，不移动(叶)。
- 四分之一的结点深度为 \(d-2\) ，而它们至多能向下移动一层。
- 树中每向上一层，结点的数目为前一层的一半，而子树高度加一
堆有 \(\log n\)层深，所以插入删除的平均时间和最差时间都是 \(O(\log N)\)
优先队列
普通队列是一种先进先出的数据结构，先放进队列的元素取值时优先被取出来。而优先队列是一种具有最高优先级元素先出的数据结构，比如每次取值都取最大的元素。
优先队列支持下面的操作：
- 找出优先级最高的元素(最大或最小元素)；
- 删除一个具有最高优先级的元素；
- 添加一个元素到集合中。
