数据结构与算法 - 拓扑排序

基础

有向图的表示

假设有向图有 n 个节点，按 0 到 n - 1 编号，其中 n 是 graph 的节点数。图以下述形式给出：graph[i] 是编号 j 节点的一个列表，满足 (i, j) 是图的一条有向边。

输入：graph = [[1,2],[2,3],[5],[0],[5],[],[]]

输出：[2,4,5,6]

解释：示意图如上。

graph[i][……]=x 代表 i 到 x 是图的一条有向边。

拓扑排序

在图论中，一个有向无环图必然存在至少一个拓扑序与之对应，反之亦然。

简单来说，就是将图中的所有节点展开成一维序列，对于序列中任意的节点 \((u, v)\) ，如果在序列中 \(u\) 在 \(v\) 的前面，则说明在图中存在从 \(u\) 出发达到 \(v\) 的通路，即 \(u\) 排在 \(v\) 的前面。反之亦然。

同时，我们需要知晓「入度」和「出度」的概念：

• 入度：有多少条边直接指向该节点；
• 出度：由该节点指出边的有多少条。

因此，对于有向图的拓扑排序，我们可以使用如下思路输出拓扑序（BFS 方式）：

1. 起始时，将所有入度为 0 的节点进行入队（入度为 0 ，说明没有边指向这些节点，将它们放到拓扑排序的首部，不会违反拓扑序定义）；
2. 从队列中进行节点出队操作，出队序列就是对应我们输出的拓扑序。对于当前弹出的节点 \(x\) ，遍历 \(x\) 的所有出度，即遍历所有由 \(x\) 直接指向的节点 \(y\)，对 \(y\) 做入度减一操作（因为 \(x\) 节点已经从队列中弹出，被添加到拓扑序中，等价于从 \(x\) 节点从有向图中被移除，相应的由 \(x\) 发出的边也应当被删除，带来的影响是与 \(x\) 相连的节点 \(y\) 的入度减一）；
3. 对 \(y\) 进行入度减一之后，检查 \(y\) 的入度是否为 0，如果为 0 则将 \(y\) 入队（当 \(y\) 的入度为 0，说明有向图中在 \(y\) 前面的所有的节点均被添加到拓扑序中，此时 \(y\) 可以作为拓扑序的某个片段的首部被添加，而不是违反拓扑序的定义）；
4. 循环流程 2、3 直到队列为空。

代码实现

class Solution
{
public:
    void topologicalSorting(vector<vector<int>> &graph) {
        int gSize = graph.size();
        // 求顶点入度值
        vector<int> inEdge(gSize, 0);
        for(auto &edge : graph) {
            for(int i:edge) {
                ++inEdge[i];
            }
        }
        deque<int> d;
        for(int i=0; i < gSize; i++) {
            if(inEdge[i] == 0) d.push_back(i);
        }

        while (!d.empty())
        {
            int poll = d.front();
            d.pop_front();
            // 队列顺序就是拓扑排序顺序
            for(int i = 0; i < graph[poll].size(); i++) {
                --inEdge[graph[poll][i]];
                if(inEdge[graph[poll][i]] == 0) {
                    d.push_back(graph[poll][i]);
                }
            }
        }
    }
};