二叉树
二叉树的 c++实现
二叉树节点定义
template<typename T>
struct BinTreeNode
{
T data;
BinTreeNode *leftChild, *rightChild;
BinTreeNode() :leftChild(nullptr), rightChild(nullptr) {}
BinTreeNode(T x, BinTreeNode<T> *l=nullptr, BinTreeNode<T> *r=nullptr) :data(x),leftChild(l),rightChild(r) {}
};
二叉树类
template<typename T>
class BinaryTree
{
public:
BinaryTree() :root(nullptr),RefValue('#') {}
BinaryTree(T value) : RefValue(value), root(nullptr) {}
~BinaryTree() { DestroyTree(root) }
// 创建二叉树
//使用广义表创建二叉树，以'#'字符代表结束
void CreateBinTree() { CreateBinTree(root); }
//前序遍历创建二叉树(前序遍历的应用)，用#表示空结点(用#将节点补成满二叉树)
void CreateBinTree_PreOrder() { CreateBinTree_PreOrder(root); }
//使用先序遍历和中序遍历创建二叉树
void CreateBinTreeBy_Pre_In(const char *pre, const char *in)
{
int n = strlen(pre);
CreateBinTreeBy_Pre_In(root, pre, in, n);
}
//使用后序遍历和中序遍历创建二叉树
void CreateBinTreeBy_Post_In(const char *post, const char *in)
{
int n = strlen(post);
CreateBinTreeBy_Post_In(root, post, in, n);
}
//==========二叉树的遍历==========//
//先序遍历（递归）
void PreOrder() { PreOrder(root); }
//中序遍历(递归)
void InOrder() { InOrder(root); }
//后序遍历（递归）
void PostOrder() { PostOrder(root); }
//先序遍历(非递归)
void PreOrder_NoRecurve() { PreOrder_NoRecurve(root); }
//中序遍历(非递归)
void InOrder_NoRecurve() { InOrder_NoRecurve(root); }
//后序遍历(非递归)
void PostOrder_NoRecurve() { PostOrder_NoRecurve(root); }
//层次遍历(非递归)
void LevelOrder() { LevelOrder(root); }
//==========获取结点==========//
//获取二叉树的根节点
BinTreeNode<T> *getRoot() const
{
return root;
}
//获取current结点的父节点
BinTreeNode<T> *Parent(BinTreeNode<T> *current)
{
//如果没有根节点或current结点就是root结点，就没有父节点
return (root == nullptr || root == current) ? nullptr : Parent(root, current);
}
//获取current结点的左结点
BinTreeNode<T> *LeftChild(BinTreeNode<T> *current)
{
return (current != nullptr) ? current->leftChild : nullptr;
}
//获取current结点的右结点
BinTreeNode<T> *RightChild(BinTreeNode<T> *current)
{
return (current != nullptr) ? current->rightChild : nullptr;
}
//==========成员函数==========//
//销毁函数
void Destroy() { Destroy(root); }
//拷贝二叉树(前序遍历的应用)
BinaryTree(BinaryTree<T> &s)
{
root = Copy(s.getRoot());
}
//判断两颗二叉树是否相等(前序遍历的应用)
bool operator==(BinaryTree<T> &s)
{
return (equal(this->getRoot(), s.getRoot()));
}
//计算二叉树的结点的个数(后序遍历的应用)
int Size() { return Size(root); }
//计算二叉树的高度（后序遍历的应用）
int Height() { return Height(root); }
//判断二叉树是否为空
bool Empty() { return (root == nullptr) ? true : false; }
//以广义表的形式输出二叉树(前序遍历的应用)
void PrintBinTree() { PrintBinTree(root); }
private:
BinTreeNode<T> *root; //根节点
T RefValue; //数据输入停止的标志，需要一个构造函数
}
算法实现
使用广义表创建二叉树
从广义表A(B(D,E(G,)),C(,F))# 建立起来的二叉树。
实现思路
- 若是字母（假定以字母作为结点的值），则表示是结点的值，为它建立一个新的结点，并把该结点作为左子女（当k=1）或右子女（当k=2）链接到其父结点上。
- 若是左括号"("，则表明子表的开始，将k置为1；若遇到的是右括号")"，则表明子表结束。
- 若遇到的是逗号","，则表示以左子女为根的子树处理完毕，应接着处理以右子女为根的子树，将k置为2。如此处理每一个字符，直到读入结束符“#”为止。
在算法中使用了一个栈s，在进入子表之前将根结点指针进栈，以便括号内的子女链接之用。在子表处理结束时退栈。
void CreateBinTree(BinTreeNode<T>* &BT)
{
stack< BinTreeNode<T>* > s;
BT = nullptr;
BinTreeNode<T> *p, *t; //p用来记住当前创建的节点，t用来记住栈顶的元素
int k; //k是处理左、右子树的标记
T ch;
cin >> ch;
while (ch != RefValue)
{
switch(ch)
{
case '(':
s.push(p);
k=1;
break;
case ')':
s.pop();
break;
case ',':
k=2;
break;
default:
p = new BinTreeNode<T>(ch);
if(BT == nullptr) { BT = p; }
else if (k==1) { //链入*t的左孩子
t = s.top();
t->leftChild = p;
} else { //链入*t的右孩子
t = s.top();
t->rightChild = p;
}
}
cin >> ch;
}
}
根据二叉树的前序遍历创建
必须对应二又树结点前序遍历的顺序，并约定以输入序列中不可能出现的值作为空结点的值以结束递归，此值通过构造函数存放在RefValue中。例如用“#”或表示字符序列或正整数序列空结点。
前序遍历所得到的前序序列为ABC##DE#G##F###。
实现思路：
每读入一个值，就为它建立结点。该结点作为根结点，其地址通过函数的引用型参数subTree直接链接到作为实际参数的指针中。然后，分别对根的左、右子树递归地建立子树，直到读入“#”建立空子树递归结束。
void CreateBinTree_PreOrder(BinTreeNode<T>* &subTree)
{
T item;
if (cin >> item)
{
if (item != RefValue)
{
subTree = new BinTreeNode<T>(item); //构造结点
if (subTree == nullptr)
{
cout << "内存空间分配错误！" << endl;
exit(-1);
}
CreateBinTree_PreOrder(subTree->leftChild);
CreateBinTree_PreOrder(subTree->rightChild);
}
else
{
subTree = nullptr;
}
}
}
根据前序遍历和中序遍历创建二叉树
根据前序遍历，先找到这棵树的根节点，也就是数组受中第一个结点的位置，创建根节点。
然后在中序遍历中找到根的值所在的下标，切出左右子树的前序和中序
注意：如果前序遍历的数组长度为0，说明是一棵空树。
下面举个例子详细讲解：
首先可以确定A是这棵树的根节点，然后根据中序遍历切出A的左右子树，得到BCD属于A的左子树，E属于A的右子树，如下图：
接着以B为根节点，在中序遍历中再次切出B的左右子树，得到CD为B的左子树，右子树为空。
再以C为根节点，结合中序遍历，得到D为C的右子树，左子树为空。
创建好的二叉树如下图所示：
代码实现(递归定义，递归实现)：
void CreateBinTreeBy_Pre_In(BinTreeNode<T> *&cur, const char *pre, const char *in, int n)
{
if (n <= 0)
{
cur = nullptr;
return;
}
int k = 0;
while (pre[0] != in[k]) //在中序中找到pre[0]的值
{
k++;
}
cur = new BinTreeNode<T>(in[k]); //创建结点
CreateBinTreeBy_Pre_In(cur->leftChild, pre + 1, in, k);
CreateBinTreeBy_Pre_In(cur->rightChild, pre + k + 1, in + k + 1, n - k - 1);
}
根据后续遍历和中序遍历创建二叉树
根据后序遍历，先找到这棵树的根节点的值，也就是数组中最后一个节点(数组长度-1)的位置，由此创建根节点。
然后在中序遍历中找到根的值所在的下标，切出左右子树的后续和中序。
注意：如果后序遍历的数组长度为0，说明是一棵空树。
下面举个例子详细讲解：
由后序遍历可以确定A是这棵树的根节点，然后根据中序遍历切出A的左右子树，得到CDB属于A的左子树，E属于A的右子树，如下图：
接着以B为根节点，在中序遍历中再次切出B的左右子树，得到CD为B的左子树，右子树为空。
再以C为根节点，结合中序遍历，得到D为C的右子树，左子树为空。
创建好的二叉树如下图所示：
代码实现
//使用后序遍历和中序遍历创建二叉树
void CreateBinTreeBy_Post_In(BinTreeNode<T> *&cur, const char *post, const char *in, int n)
{
if (n == 0)
{
cur = nullptr;
return;
}
char r = *(post + n - 1); //根结点值
cur = new BinTreeNode<T>(r); //构造当前结点
int k = 0;
const char *p = in;
while (*p != r)
{
k++;
p++;
}
CreateBinTreeBy_Post_In(cur->leftChild, post, in, k);
CreateBinTreeBy_Post_In(cur->rightChild, post + k, p + 1, n - k - 1);
}
二叉树的递归遍历
void PreOrder(BinTreeNode<T> *&subTree)
{
if(subTree != nullptr)
{
cout << subTree->data << " ";
PreOrder(subTree->leftChild);
PreOrder(subTree->rightChild);
}
}
void InOrder(BinTreeNode<T>* &subTree)
{
if(subTree != nullptr)
{
InOrder(subTree->leftChild);
cout << subTree->data << " ";
InOrder(subTree->rightChild);
}
}
void PostOrder(BinTreeNode<T>* &subTree)
{
if(subTree != nullptr)
{
PostOrder(subTree->leftChild);
PostOrder(subTree->rightChild);
cout << subTree->data << " ";
}
}
二叉树遍历非递归实现
先序遍历
为了把一个递归过程改为非递归过程，一般需要利用一个工作栈，记录遍历时的回退路径。
利用栈实现前序遍历的过程。每次访问一个结点后，在向左子树遍历下去之前，利用这个栈记录该结点的右子女（如果有的话）结点的地址，以便在左子树退回时可以直接从栈顶取得右子树的根结点，继续其右子树的前序遍历。
void PreOrder_NoRecurve1(BinTreeNode<T> *p)
{
stack<BinTreeNode<T> *> s;
s.push(nullptr); //最先push一个nullptr，到最后一个结点没有左右子树时，栈里只有一个nullptr了，令指针p指向这个nullptr，再判断就会结束循环
while (p!=nullptr)
{
cout << p->data << " ";
if(p->rightChild != nullptr)
{
s.push(p->rchild);
}
if(p->leftChild != nullptr)
{
p = p->leftChild;
}
else
{
p = s.top()
s.pop();
}
}
}
另一种前序遍历的方法。为了保证先左子树后右子树的顺序，在进栈时是先进右子女结点地址，后进左子女结点地址，出栈时正好相反。
void PreOrder_NoRecurve2(BinTreeNode<T> *p)
{
stack<BinTreeNode<T>*> s;
BinTreeNode<T>* t;
S.push(p); //根节点进栈
while(!s.empty())
{
t = s.top();
s.pop();
cout << t->data << " "; //访问元素
if(t->rightChild != nullptr) { s.push(t->rightChild) }
if(t->leftChild != nullptr) { s.push(t->leftChild) }
}
}
中序遍历
需要使用一个栈，以记录遍历过程中回退的路径。在一棵子树中首先访问的是中序下的第一个结点，它位于从根开始沿leftChild链走到最左下角的结点，该结点的leftChild指针为nullptr。访问它的数据之后，再遍历该结点的右子树。此右子树又是二叉树，重复执行上面的过程，直到该子树遍历完。
void InOrder_NoRecurve(BinTreeNode<T>* p)
{
stack<BinTreeNode<T>*> s;
do {
while(p!=nullptr)
{
s.push(p);
p = p->leftChild;
}
if (!s.empty())
{
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data << " ";
p = p->rightChild;
}
}while(p!=nullptr || !s.empty())
}
后续遍历
- 如果栈顶元素非空且左节点存在,将其压入栈中，如果栈顶元素存在左节点，将其左节点压栈，重复该过程。直到左结点不存在则进入第2步
- 判断上一次出栈节点是否是当前栈顶结点的右节点(就是右叶子结点，如：g，f结点)，或者当前栈顶结点不存在右结点(如：g，f，a结点)，将当前节点输出，并出栈。否则将当前栈顶结点右孩子节点压栈，再进入第1步
void PostOrder_NoRecurve(BinTreeNode<T> *p)
{
if (root == nullptr) return;
stack<BinTreeNode<T> *> s;
s.push(p);
BinTreeNode<T> *lastPop = nullptr;
while (!s.empty())
{
while (s.top()->leftChild != nullptr) s.push(s.top()->leftChild);
while (!s.empty())
{
//右叶子结点 || 没有右结点
if (lastPop == s.top()->rightChild || s.top()->rightChild == nullptr)
{
cout << s.top()->data << " ";
lastPop = s.top();
s.pop();
}
else if(s.top()->rightChild !=nullptr)
{
s.push(s.top()->rightChild);
break;
}
}
}
}
二叉树层次遍历
按层次顺序访问二叉树的处理需要利用一个队列。在访问二又树的某一层结点时，把下一层结点指针预先记忆在队列中，利用队列安排逐层访问的次序。因此，每当访问一个结点时，将它的子女依次加到队列的队尾，然后再访问已在队列队头的结点。这样可以实现二又树结点的按层访问。
void LevelOrder(BinTreeNode<T> *p)
{
queue<BinTreeNode<T>*> Q;
Q.push(p);
BinTreeNode<T>* t;
while(!Q.empty())
{
t = Q.front();
Q.pop();
cout << t->data << " "; //访问队头元素的数据
if (t->leftChild != nullptr) Q.push(t->leftChild);
if (t->rightChild != nullptr) Q.push(t->rightChild);
}
}
其他算法
二叉树结点个数
int Size(BinTreeNode<T> *subTree) const
{
if (subTree == nullptr) //递归结束，空树结点个数为0
{
return 0;
}
return 1 + Size(subTree->leftChild) + Size(subTree->rightChild);
}
二叉树高度
int Height(BinTreeNode<T> *subTree)
{
if(subTree == nullptr) return 0
int l = Height(subTree->leftChild);
int r = Height(subTree->rightChild);
return l>r ? l+1:r+1;
}
以广义表的形式输出二叉树
void PrintBinTree(BinTreeNode<T> *BT)
{
if (BT != nullptr) //树为空时结束递归
{
cout << BT->data;
if (BT->leftChild != nullptr || BT->rightChild != nullptr)
{
cout << '(';
if (BT->leftChild!=nullptr) PrintBinTree(BT->leftChild);
cout << ',';
if (BT->rightChild != nullptr) PrintBinTree(BT->rightChild);
cout << ')';
}
}
}
求二叉树某结点的父节点
//从结点subTree开始，搜索结点current的父节点,找到返回父节点的地址，找不到返回nullptr
BinTreeNode<T>* Parent(BinTreeNode<T>* subTree, BinTreeNode<T>* current)
{
if (subTree == nullptr) return nullptr;
if (subTree->leftChild == current || subTree->rightChild == current) return subTree;
BinTreeNode<T>* p;
if (p = Parent(subTree->leftChild, current) != nullptr) return p //递归在左子树中搜索
else return Parent(subTree->rightChild, current); //递归右子树中搜索
}
销毁二叉树
void Destroy(BinTreeNode<T> *&subTree)
{
if (subTree != nullptr)
{
Destroy(subTree->leftChild);
Destroy(subTree->rightChild);
delete subTree;
subTree = nullptr;
}
}
判断两颗二叉树是否相等
bool equal(BinTreeNode<T> *a, BinTreeNode<T> *b)
{
if (a == nullptr&&b == nullptr) //两者都为空
{
return true;
}
//两者都不为空，且两者的结点数据相等，且两者的左右子树的结点都相等
if (a != nullptr&&b != nullptr&&a->data == b->data&&equal(a->leftChild, b->leftChild) && equal(a->rightChild, b->rightChild))
{
return true;
}
return false;
}
判断是否是平衡二叉树
bool isBalanced(BinTreeNode<T> *root) {
bool balanced = abs(Height(root->left) - Height(root->right)) > 1 ? false : true;
return balanced && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}
