【比赛记录】 AtCoder Beginner Contest #273

Problems:

#	Name	Submit
A	A Recursive Function
B	Broken Rounding
C	(K+1)-th Largest Number
D	LRUD Instructions
E	Notebook
F	Hammer 2
G	Row Column Sums 2
Ex	Inv(0,1)ving Insert(1,0)n

感觉一直设计不好 DP 的状态，被 F 和 G 两道 DP 暴杀qwq。
感觉 DP 的状态就是蛮先设计看看，试一下能不能转移，转移过程中需要知道那些东西，
时空复杂度如何，能否优化之类的，在尝试中调整。

题解：

A: A Recursive Function

阶乘。

B: Broken Rounding

对于每个 \(i\) ，\(x=\lfloor x/10^i+0.5\rfloor \times 10^i\) 。

C: (K+1)-th Largest Number

去重后排序即可求出大于 \(a_i\) 的不同的数的个数，统计对应答案。

D: LRUD Instructions

调了好久，wtcl。
记录出现过的行和列上障碍的位置，移动时判断移动方向上是否存在障碍。
对于没有障碍的行列，判断是否移至边界即可；
对于有障碍的行列，判断是否会被障碍阻挡即可。
记得离散化。

• lower_bound(first,last,x) 求出 \([~\text{first},\text{last}~)\) 中第一个大于等于 \(x\) 的位置 。
• upper_bound(first,last,x) 求出 \([~\text{first},\text{last}~)\) 中第一个大于 \(x\) 的位置 。

E: Notebook

每次至多添加一个数，删除最后一个数，询问最后一个数。
用链表维护每个数的前一个数，用一个指针记录当前位置，
用数组记录某一页对应的最后一个数的位置。
模拟一波，记得离散化。
其实整个结构更像树一些。

F: Hammer 2

首先离散化原点，终点，墙和锤子的位置。
设 \(f_{i,j,0}\) 表示区间 \([i,j]\) 都可行走且此时位于 \(i\) 处，
\(f_{i,j,1}\) 表示区间 \([i,j]\) 都可行走且此时位于 \(j\) 处。
转移时若不是墙，则可直接拓展。
若是墙，若对应锤子不位于 \([i,j]\) 内，则不可以拓展；
若对应锤子不位于 \([i,j]\) 内，则有：

\[f_{i-1,j,0}=\min{\{f_{i-1,j,0}, f_{i,j,0}+\text{dist}(i-1,i),f_{i,j,1}+\text{dist}(i-1,j)\}} \\ f_{i,j+1,1}=\min{\{f_{i,j+1,1}, f_{i,j,0}+\text{dist}(i,j+1),f_{i,j,1}+\text{dist}(j,j+1)\}} \]

记原点对应位置为 \(p\) ，则初始值为 \(f_{p,p,0}=f_{p,p,1}=0\) ，表示初始时位于原点处。

G: Row Column Sums 2

显然当 \(\sum R_i\neq\sum C_i\) 时答案为 \(0\) 。
考虑 DP 求解，尝试设计 DP 的状态，考虑填完前 \(i-1\) 行，正在填第 \(i\) 行。
思考发现，我们需要知道填完前 \(i-1\) 行后，列中 \(1\) 和 \(2\) 的个数，分别记为 \(x\) 和 \(y\) 。
于是设 \(f_{i,x,y}\) 表示填完前 \(i\) 行，列中剩余 \(x\) 个 \(1\) ，\(y\) 个 \(2\) 的方案数。
转移时分类讨论：

• 当 \(R_i=0\) 时，显然 \(f_{i,x,y}=f_{i-1,x,y}\) 。
• 当 \(R_i=1\) 时：
  • 若第 \(i\) 行填在为 \(1\) 的列，则 \(f_{i,x,y}=(x+1)\times f_{i-1,x+1,y}\) 。
  • 若第 \(i\) 行填在为 \(2\) 的列，则 \(f_{i,x,y}=(y+1)\times f_{i-1,x-1,y+1}\) 。
• 当 \(R_i=2\) 时：
  • 若第 \(i\) 行在一个为 \(2\) 的列填 \(2\)，则 \(f_{i,x,y}=(y+1)\times f_{i-1,x,y+1}\) 。
  • 若第 \(i\) 行在一个为 \(2\) 的列填 \(1\)，一个为 \(1\) 的列填 \(1\)，则 \(f_{i,x,y}=x\times(y+1)\times f_{i-1,x,y+1}\) 。
  • 若第 \(i\) 行在两个为 \(2\) 的列填 \(1\)，则 \(f_{i,x,y}=\left({\matrix{y+2\\2}}\right)\times f_{i-1,x-2,y+2}\) 。
  • 若第 \(i\) 行在两个为 \(1\) 的列填 \(1\)，则 \(f_{i,x,y}=\left({\matrix{x+2\\2}}\right)\times f_{i-1,x+2,y}\) 。

值得注意的是，填为 \(2\) 的列会影响为 \(1\) 的列的个数，填为 \(1\) 的列不会影响为 \(2\) 的列的个数。
这样做虽然正确，但是会爆时空限制，但也不难发现，若记 \(\text{rest}=\sum\limits_{j=i}^n R_j\) ，则有：

\[\text{rest}=x+2\times y \]

因此 \(x\) 和 \(y\) 之间可以互相表示，知一求一（雾。
因此可以略去一维，实际实现时略去 \(x\) 的一维更简洁，
不需要判断 \(\text{rest}-x\bmod 2\) 是否等于 \(0\) 。

Ex: Inv(0,1)ving Insert(1,0)n

不会，留坑qwq。