Luogu P1504 积木城堡 题解

题解 P1504 积木城堡

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题面

题目描述

XC 的儿子小 XC 最喜欢玩的游戏用积木垒漂亮的城堡。城堡是用一些立方体的积木垒成的，城堡的每一层是一块积木。

小 XC 是一个比他爸爸 XC 还聪明的孩子，他发现垒城堡的时候，如果下面的积木比上面的积木大，那么城堡便不容易倒。所以他在垒城堡的时候总是遵循这样的规则。

小 XC 想把自己垒的城堡送给幼儿园里漂亮的女孩子们，这样可以增加他的好感度。为了公平起见，他决定把送给每个女孩子一样高的城堡，这样可以避免女孩子们为了获得更漂亮的城堡而引起争执。

可是他发现自己在垒城堡的时候并没有预先考虑到这一点。所以他现在要改造城堡。由于他没有多余的积木了，他灵机一动，想出了一个巧妙的改造方案。他决定从每一个城堡中挪去一些积木，使得最终每座城堡都一样高。为了使他的城堡更雄伟，他觉得应该使最后的城堡都尽可能的高。

任务：

请你帮助小 XC 编一个程序，根据他垒的所有城堡的信息，决定应该移去哪些积木才能获得最佳的效果。

注意：一座城堡的高度，是组成它的所有积木的棱长之和。

输入格式

第一行是一个整数 $n$，表示一共有 $n$ 座城堡。

以下 $n$ 行每行是一系列非负整数，用一个空格分隔，按从下往上的顺序依次给出一座城堡中所有积木的棱长。用 -1 结束。

输出格式

一个整数，表示最后城堡的最大可能的高度。
如果找不到合适的方案，则输出 $0$。

I/O

样例输入 #1

2
2 1 -1
3 2 1 -1

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 100$，一座城堡中的积木不超过 $100$ 块，每块积木的棱长不超过 $100$。

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思路

先考虑答案范围：对于每座城堡，我们俩只从每个城堡中抽去积木，而不向其中添加积木。所以对于每一座城堡而言，在改造过程中，其高度只会减少，不会增加。而我们想让所有城堡的高度相等，所以答案应该在区间 $[1,\text{minheight}]$ （也就是 $1$ 到最小高度中）

那么对于每一座城堡，由于题目给定的积木顺序是由下至上，那么对于每一个积木我们都有两种决策方案：放入城堡，或不放进城堡。这很像0/1背包。所以我们可以参考一下0/1背包的做法

我们用一个数组 $ans_i$ 来记录能达到高度 $i$ 的城堡有多少座。对于每一座城堡，我们用一个数组 $dp_j$ 来记录它能否到达高度 $j$ ，同时用 $w_k$ 记录其每块积木的棱长

对于每一块积木，如果城堡在没有这块积木的情况下能达到高度 $j-w_k$ ，那么加上这块积木后一定能达到高度 $j$ ，由此推出转移方程：

//对于每座城堡
dp[0]=true;
for(int i=1;i<=num;i++){//枚举城堡的积木数量
    for(int j=height;j>=w[i];j++){//倒序枚举高度
        dp[j]=dp[j] || dp[j-w[i]];//变形转移方程
    }
}
for(int i=1;i<=height;i++)ans[i]+=(int)dp[i];
//------args----------
/*
bool dp[maxn];//记录当前城堡能达到的高度
int num;//记录当前城堡的积木数量
int height;//记录当前城堡的最大高度
int w[maxn];//记录当前城堡每一块积木的棱长
int ans[maxn];//记录能达到高度 i 的城堡的数量
*/

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+12;
int n,minn=0x3f3f3f3f;
int ans[maxn];
int height,num,w[maxn];
bool dp[maxn];

void DP(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=true;//初始化
    for(int i=1;i<=num;i++){
        for(int j=height;j>=w[i];j--){
            dp[j]=dp[j] || dp[j-w[i]];
        }
    }
    for(int i=1;i<=height;i++)ans[i]+=(int)dp[i];
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(1){
            int len;scanf("%d",&len);
            if(len==-1)break;
            height+=len;
            w[++num]=len;
        }
        minn=min(minn,height);
        DP();
        num=height=0;
    }
    for(int i=minn;i>=1;i--){
        if(ans[i]==n){//恰好n座城堡都能达到高度i
            printf("%d\n",i);
            return 0;
        }
    }
    //无解
    printf("0\n");
    return 0;
}