背包DP

0x00 0/1背包与DP的基本思路

1、定义状态

「状态」是我们在动态规划过程中数组所储存的值。一个正确的「状态」应该满足以下的要求：

「状态」是一个数组
可以通过「状态」，在完成DP后计算出答案
可以通过少量的公式/方程，完成不同「状态」的转移

举个例子

最基础的动态规划问题当属 0/1背包 问题，这个问题的通用描述如下：

现有 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品会占据 $v_i$ 的空间，有着 $w_i$ 的价值

你现在有着一个背包，这个背包的最大容积为 $V$

试求出你能携带的物品的价值总和的最大值

在这样一个问题中，我们可以这样定义状态：

使用 f[i][j] 表示状态
f[i][j]=(int)value

其中变量的含义是：
	i - 当动态规划到第i个物品时(i<=n)
	j - 令背包空间为j(j<=V)
	(int)value - 此时的最大价值和

我们试着和上面的要求做一下比对

「状态」是一个数组 √

可以通过「状态」，在完成DP后计算出答案

在完成DP后，由于有 $n$ 件物品，背包空间为 $V$ ，所以答案是 f[n][V] √

可以通过少量的公式/方程，完成不同「状态」的转移

这是下一节的内容，但是我可以告诉你这样定义是正确的（ √

2、转移方程

动态规划最重要的一点就是转移方程的推导。转移方程是从一个状态推导到另一个状态时所依赖的公式，一个/一些正确的转移方程应该满足以下要求：

这个/这些转移方程应当覆盖了问题的所有情况
这个/这些转移方程用到的状态应当已被推导出
这个/这些转移方程的不同情况和决策应当一一对应
转移方程应当无后效性：即之后的决策不应影响到之前的决策

举个例子

用上面的 0/1背包 问题来举例子，我们想要试图推导出它的转移方程

因为对于每一个物品，我们都有放与不放两种选择，所以每一个物品的决策只有两种

如果我要把一个物品放进背包，那么要满足以下几点：

背包的空间足够放下这个物品
放下这个物品后，背包如果有剩余空间，剩余空间也要遵循最优解

因为我们把背包空间作为了状态的一个变量，所以第二点可以通过下面的方式满足：

//假设物品id为i
f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i]

在上面的代码中，放入这个物品后，背包剩余空间为 j-v[i] ，这些剩余空间在前 i-1 件物品的决策中也应当有一个最优解，所以用 f[i-1][j-v[i]] 表示剩余空间的最优解。同时，由于放入了第 $i$ 件物品，所以用 w[i] 表示第 $i$ 个物品的价值

但是还没完，此时这个方程只覆盖了一种情况，我们要在这个方程的基础上写出完整的方程

公式版：

(i = 1 \to n) (j = v_{i} \to V) f_{(i, j)} = max {f_{(i, j)}, f_{(i - 1, j - v_{i})} + w_{i}}

$(i=1\rightarrow n)(j=v_i\rightarrow V)f_{(i,j)}=\max\left\{f_{(i,j)},f_{(i-1,j-v_i)}+w_i\right\}$

代码版：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=v[i];j<=V;j++){
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
}

解释一下， $j$ 的取值范围从 $v_i\to i$ 而不是 $1\to i$ ，是因为如果要把第 $i$ 件物品放入背包，我们至少需要 $v_i$ 的空间，所以不用考虑空间小于 $v_i$ 的背包的情况

但是

这是一个二维数组，如果给定的 $n$ 较大，这个数组的空间效率会比较底下

所以我们要对其空间进行优化

3. 优化

观察我们的转移方程，我们会发现：要求出 $f_{(i,j)}$ ，我们只需要知道 $f_{(i-1,*)}$ 。

换言之，要求出当前状态，我们只需要知道上一层状态即可

所以我们可以这样定义状态：

使用 f[i][j] 表示状态
f[i][j]=(int)value

其中变量的含义是：
	i - 令背包空间为i(i<=V)
	j - 0表示当前位,1表示前一位
	(int)value - 此时的最大价值和

那么我们的转移方程相应变为：

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品
    for(int j=v[i];j<=V;j++){//枚举空间
        f[j][0]=max(f[j][0],f[j-v[i]][1]+w[i]);
    }
    for(int j=1;j<=V;i++)f[j][1]=f[j][0];//拷贝结果
}

最后的答案就是 $f_{(V,0)}$

但是

我们还没有优化完成

我们再仔细地观察转移方程，我们会发现：要求出 $f_{(j,0)}$ ，我们只需要知道 $f_{(*\lt j,1)}$

换言之，要求出当前状态，我们只需要知道上一层状态中空间小于当前状态的状态即可

可能有点绕，我们来模拟一下：

上面一排表示 $f_{(*,1)}$ ，下面一排表示 $f_{(*,0)}$ ，不同颜色的箭头表示对不同的空间大小进行决策时，根据放入的物品的大小，可能会访问的位置

所以我们可以只建一维数组

但是要注意一个问题：较小空间的决策会影响到较大空间的决策

举个例子，如果在 $j=2$ 时决策放入了一个 $v=2$ 的物品，然后在 $j=4$ 时决策又将这个物品放了进去，这时背包的空间剩余为 $2$ ，那么就会加上 $j=2$ 时的结果。从结果而言，这个物品就被放入了两次，这与题目条件相悖。

解决方法也很简单：我们可以反向循环遍历空间大小。（不懂的可以自己模拟一下）

那么我们的转移方程就推导出来了

for(int i=1;i<=n;i++){//遍历物品
    for(int j=V;j>=v[i];j--){//反向遍历空间
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

最后的答案就是 $f_V$

这条转移方程也是 0/1背包 问题的标准转移方程

0x01 0/1背包例题

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$ （ $1 \le T \le 1000$ ）和 $M$ （ $1 \le M \le 100$ ），用一个空格隔开， $T$ 代表总共能够用来采药的时间， $M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$ ）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

I/O

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据， $M \le 10$ ；
对于全部的数据， $M \le 100$ 。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

这是一个标准的 0/1背包 问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

$T$ 是背包容量， $M$ 是物品数量

对于每一株草药，采摘时间是物品所占的空间，草药的价值就是物品价值

所以可以很快的推导出方程：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1012;
int T,M;
int v[maxn],w[maxn];//空间和价值
int f[maxn];//状态

void dp(){
    for(int i=1;i<=M;i++){//枚举物品
        for(int j=T;j>=v[i];j--){//倒叙枚举空间
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//转移方程
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&T,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    dp();
    printf("%d",f[T]);
    return 0;
}

[NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$ ，重要度为 $w[j]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,…,j_k$ ，则所求的总和为：

$v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+ …+v[j_k] \times w[j_k]$ 。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为 $2$ 个正整数，用一个空格隔开： $n,m$ （其中 $n(<30000)$ 表示总钱数， $m(<25)$ 为希望购买物品的个数。）

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为的物品的基本数据，每行有个非负整数 $v\ p$ （其中 $v$ 表示该物品的价格 $(v \le 10000)$ ， $p$ 表示该物品的重要度( $1-5$ )

输出格式

$1$ 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值 $(<100000000)$ 。

I/O

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

NOIP 2006 普及组第二题

这是一个~~不那么~~标准的 0/1背包 问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

$n$ 是背包容量， $m$ 是物品数量

对于第 $i$ 个物品， $v_i$ 是物品所占的空间， $v_i\times p_i$ 是物品的价值

所以可以很快的推导出方程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=30012;
int n,m;
int v[maxn],w[maxn];//w[i]=v[i]*p[i],p[i]无需记录
int f[maxn];

void dp(){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=n;j>=v[i];j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int tem;
        scanf("%d%d",&v[i],&tem);
        w[i]=v[i]*tem;
    }
    dp();
    printf("%d",f[n]);
    return 0;
}

0x02 完全背包

定义

完全背包问题是0/1背包问题的一个演化

在0/1背包中，每个物品只能被放入背包 $1$ 次

在完全背包中，每个物品可以被放入背包无数次

解决思路

回忆一下我们是如何推导出0/1背包的转移方程的

但是要注意一个问题：较小空间的决策会影响到较大空间的决策

举个例子，如果在 $j=2$ 时决策放入了一个 $v=2$ 的物品，然后在 $j=4$ 时决策又将这个物品放了进去，这时背包的空间剩余为 $2$ ，那么就会加上 $j=2$ 时的结果。从结果而言，这个物品就被放入了两次，这与题目条件相悖。

解决方法也很简单：我们可以反向循环遍历空间大小。（不懂的可以自己模拟一下）

这里就有很重要的一点：如果我们在遍历空间时正向遍历，那么一个物品就可以被放入背包多次

其实，这就是完全背包的解决方法：与0/1背包类似，但是在遍历空间时正向遍历

转移方程

for(int i=1;i<=n;i++){//遍历每一件物品
    for(int j=v[i];j<=V;j++){//正向遍历空间
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

0x03 完全背包例题

[洛谷原创] 疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

$1$ . 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$ . 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$ 。

第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行，每行两个整数，第 $(i + 1)$ 行的整数 $a_i, b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

I/O

样例输入 #1

样例输出 #1

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据，保证 $m \le 10^3$ 。
对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \leq m \le 10^4$ ， $1 \leq t \leq 10^7$ ，且 $1 \leq m \times t \leq 10^7$ ， $1 \leq a_i, b_i \leq 10^4$ 。

这是一个标准的完全背包问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

$t$ 是背包容量， $m$ 是物品数量

对于每一株草药，采摘时间是物品所占的空间，草药的价值就是物品价值

所以可以很快的推导出方程：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e7+12;
int T,M;
int v[maxn],w[maxn];//空间和价值
long long f[maxn];//状态

void dp(){
    for(int i=1;i<=M;i++){//枚举物品
        for(int j=T;j>=v[i];j--){//倒叙枚举空间
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//转移方程
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&T,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    dp();
    printf("%lld",f[T]);
    return 0;
}

注意一点：最大可能的价值是：

maxb * maxt = 1e11

这超过了 INT_MAX=2147483647 ，因此要记得开 long long

0x04 多重背包

定义

多重背包问题是0/1背包问题的一个演化

在0/1背包中，每个物品只能被放入背包 $1$ 次

在多重背包中，对于每个物品 $i$ ，它能被放入背包 $t_i$ 次

解决思路

暴力思路

我们可以把多重背包直接转化为0/1背包：

一共有 $n$ 种物品，每种物品有 $t_i$ 个

可以转化为：

一共有 $\sum\limits_{i=1}^nt_i$ 个物品

这样就把多重背包转化为了0/1背包，复杂度是 maxt*maxn

正解

但是这样有些过于暴力，我们要想一个优化方案--二进制优化

有的人可能很疑惑：这要怎么二进制优化呢？

我们来思考一件事：想要表示出 $0-20$ 中所有的正整数，我们会怎么办？

我们可以用二进制拆分：

原理：一个数字，我们可以按照二进制来分解成 1+2+4+8+...+2^k+余数

举个例子：

7可以分解为 1+2+4，也就是用 1，2，4 这三个数能表示 1-7 中的所有正整数
10 可以分解为 1+2+4+3 ，这个3就是余数

因此复杂度就降低到了 log(maxt)*maxn

转移方程

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品种类
    int bina = 1;//二进制拆分
    while(num[i]-bina>0){//num[i]表示第i个物品的数目
        num[i]-=bina;
        for(int j=V;j>=v[i]*bina;j--)f[j]=max(f[j],f[j-bina*v[i]]+bina*w[i]);//0/1背包
        bina<<=1;
    }
    for(int j=V;j>=v[i]*num[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]*num[i]]+num[i]*w[i]);//余数处理
}

0x05 多重背包例题

[NOI导刊] 宝物筛选

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$ ，重量为 $w_i$ ，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$ ，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$ 。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

I/O

**样例输入 **

样例输出

提示

对于 $30\%$ 的数据， $n\leq \sum m_i\leq 10^4$ ， $0\le W\leq 10^3$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $n\leq \sum m_i \leq 10^5$ ， $0\le W\leq 4\times 10^4$ ， $1\leq n\le 100$ 。

这是一个标准的多重背包问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

$n$ 是物品种类数量， $W$ 是背包空间

对于每一个宝物， $v_i$ 是价值， $w_i$ 是空间， $m_i$ 是数量

所以可以很快的推导出方程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 4e4+12;
int n,W;
int v[maxn],w[maxn],m[maxn];
int f[maxn];

void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品种类
    	int bina = 1;//二进制拆分
    	while(m[i]-bina>0){//num[i]表示第i个物品的数目
        	m[i]-=bina;
        	for(int j=W;j>=w[i]*bina;j--)f[j]=max(f[j],f[j-bina*w[i]]+bina*v[i]);//0/1背包
        	bina<<=1;
    	}
    	for(int j=W;j>=w[i]*m[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-w[i]*m[i]]+m[i]*v[i]);//余数处理
	}
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&W);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&m[i]);
    dp();
    printf("%d",f[W]);
    return 0;
}

0x06 分组背包

定义

分组背包问题是0/1背包问题的一个演化

在0/1背包中，每个物品都能被放入背包

在分组背包中，物品被划分为不同的组别，同组的物品相互冲突。

换言之，在分组背包中，放入背包的物品没有两个同组的

解决思路

我们可以把一组物品类比到0/1背包的一个物品：

与0/1背包相同的是，在分组背包中，每一组物品相当于只有一个（可以放入一个，或都不放）
与0/1背包不同的是，在分组背包中，对于每一组物品，我们一共有 $物品数量+1$ 种决策方案（放入每组的第 $i$ 个物品，或者都不放）

这要怎么解决呢？

我们思考一下在0/1背包中，我们是在什么时候进行决策的：（把代码中的 max 函数写开）

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品
    for(int j=V;j>=v[i];j--){//枚举空间
        if(f[j]<f[j-v[i]]+w[i]){//进行决策
            f[i]=f[j-v[i]]+w[i];
        }
    }
}

也就是说，在0/1背包中，我们是在枚举空间时进行决策

类比到分组背包，我们可以在枚举空间时依次决策每一个物品

于是推导出转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举组
    for(int j=V;j>=1;j--){//枚举空间
        for(int k=1;k<=num[i];k++){//枚举组内物品
            if(j>=v[i][k]){//能够放下
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);//决策
            }
        }
    }
}

同样的，我们来推导一下这个转移方程的正确性

在对 f[j] 进行决策时，我们用到的只有 f[k],k<j 。而由于我们是倒序枚举空间的，所以同一组的物品至多被放入背包一个，方程正确

转移方程

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=V;j>=1;j--){
        for(int k=1;k<=num[i];k++){
            if(j>=v[k]){
                f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
            }
        }
    }
}

0x07 分组背包例题

P1757 通天之分组背包

题目背景

直达通天路·小 A 历险记第二篇

题目描述

自 $01$ 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 $01$ 背包，他的物品大致可分为 $k$ 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数 $m,n$ ，表示一共有 $n$ 件物品，背包总重量为 $m$ 。

接下来 $n$ 行，每行 $3$ 个数 $a_i,b_i,c_i$ ，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

I/O

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

$1 \leq m, n \leq 1000$ 。

这是一个标准的分组背包问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

$n$ 是物品种类数量， $W$ 是背包空间

对于每一个宝物， $v_i$ 是价值， $w_i$ 是空间

但是我们需要注意把题目的输入转化为分组

所以可以很快的推导出方程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1012;
int m,n,g;//g -> 组别
int v[maxn][maxn],w[maxn][maxn],num[maxn];//空间/价值/每组数量
int f[maxn];

void dp(){
    for(int i=1;i<=g;i++){
        for(int j=m;j>=1;j--){
            for(int k=1;k<=num[i];k++){
                if(j>=v[i][k]){
                    f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g=max(g,c);
        num[g]++;
        v[g][num[g]]=a;
        w[g][num[g]]=b;//数据转化
    }
    dp();
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

0x08 多约束背包

定义

多约束背包问题是0/1背包问题的一种演化

在0/1背包中，背包只有空间限制，没有重量限制（或者其他的什么限制）

在多约束背包中，背包既有空间限制，也有重量限制

解决思路

和0/1背包类似，多约束背包也可以逆序枚举限制求解

注意：多约束背包的时间复杂度是 $物品数量\times 限制1\times 限制2\times \cdots\times 限制k$ ，并且没有优化

转移方程

for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品
    for(int j1=V1;j1>=v1[i];j1--){//枚举限制1
        for(int j2=V2;j2>=v2[i];j2--){//枚举限制2
            f[j1][j2]=max(f[j1][j2],f[j1-v1[i]][j2-v2[i]]+w[i]);
        }
    }
}

0x09 多约束背包例题

P1507 NASA的食物计划

题目背景

NASA(美国航空航天局)因为航天飞机的隔热瓦等其他安全技术问题一直大伤脑筋,因此在各方压力下终止了航天飞机的历史,但是此类事情会不会在以后发生，谁也无法保证,在遇到这类航天问题时,解决方法也许只能让航天员出仓维修,但是多次的维修会消耗航天员大量的能量,因此NASA便想设计一种食品方案,让体积和承重有限的条件下多装载一些高卡路里的食物.

题目描述

航天飞机的体积有限,当然如果载过重的物品,燃料会浪费很多钱,每件食品都有各自的体积、质量以及所含卡路里,在告诉你体积和质量的最大值的情况下,请输出能达到的食品方案所含卡路里的最大值,当然每个食品只能使用一次.

输入格式

第一行两个数体积最大值(<400)和质量最大值(<400)

第二行一个数食品总数N(<50).

第三行－第3+N行

每行三个数体积(<400) 质量(<400) 所含卡路里(<500)

输出格式

一个数所能达到的最大卡路里(int范围内)

I/O

样例输入 #1

样例输出 #1

这是一个标准的多约束背包问题，我们将题目中的条件转化为背包的内容：

对于每一个食品：所含卡路里就是其价值

所以可以很快的推导出方程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=402;
int n,V,M;
int v[maxn],m[maxn],w[maxn];
int f[maxn][maxn];

void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品
        for(int j1=V;j1>=v[i];j1--){//枚举空间
            for(int j2=M;j2>=m[i];j2--){//枚举质量
                f[j1][j2]=max(f[j1][j2],f[j1-v[i]][j2-m[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&V,&M,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&v[i],&m[i],&w[i]);
    }
    dp();
    printf("%d",f[V][M]);
    return 0;
}

posted @ 2022-08-18 21:11 Locked_Fog 阅读(57) 评论(0) 编辑收藏举报

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