Luogu P2860 Redundant Paths 题解

P2860 题解

题意：

至少需要多少条边才能使一张无向图变成一个强连通图？

I/O

I

O

基本思路

$\color{white}{无向图\ 强连通}$ ，基本珂以肯定是 $Tarjan$ 了。

那么问题就是如何处理 $Tarjan$ 缩点后的结果。

我们先来模拟一下样例：

珂以发现，这张图被分为了 $4$ 个 $scc$ - $(2,3,4,5)\ (1)\ (6)\ (7)$

而我们只需要添加 $1\rightarrow 7$ 和 $6 \rightarrow 7$ 两条无向边就珂以让这张图强连通，珂以证明，这张图中至少要添加两条边

我们再来观察这两条边的特征：

- 边所连接的scc都有且只有一条边与之相连
- 所有符合上面一条的点都被添加的边所连接

那么，由特殊到一般，我们进行一个推广：

> 命题：连接的是所有的没有子节点的scc后，这张图会形成一个强连通图

0. 证明：

1. 条件：这张图为连通图
2. 基本定理：Tarjan缩点后会形成一棵树
3. 基本定理：树的所有没有子节点的节点都是有且仅有一条边与之相连
4. 结论：本题中，要连接的scc都有且只有一条边与之相连
5. 结论：本题中，所有符合(4)的scc都被所添加的边所连接
6. 推论：由(3)(4)(5)珂知：本题中要连接的是所有的没有子节点的节点
7. 基本定理：无向图中，若一棵树的所有没有子节点的节点都被连接，那么这棵树会形成一个强连通图
8. 推论：由(6)(7)珂知：命题成立

所以，这道题需要求的边的数量就是连接所有没有子节点的scc所需的最小边数量

核心代码

$Tarjan$ 就是标准的模板不多赘述，这里只讲解关于求边数量的代码

int ans=0;
for(int i = 1 ; i<=n ; i++)if(dfn[i]==0)Tarjan(i,0);
for(int i = 1 ; i<=len ; i++)if(belong[e[i].from]!=belong[e[i].to])d[belong[e[i].from]]++,d[belong[e[i].to]]++;
for(int i = 1 ; i<=scc ; i++)if(d[i]==2)ans++;
printf("%d\n",(ans+1)>>1);