珍珠Bead 题解

题解 珍珠（Bead）

题目描述

有 $n$ 颗形状和大小都一致的珍珠，它们的重量都不相同。 $n$ 为整数，所有的珍珠从 $1$ 到 $n$ 编号。你的任务是发现哪颗珍珠的重量刚好处于中间，即在所有珍珠的重量中，该珍珠的重量列 $\frac{n+1}{2}$ 位。下面给出将一对珍珠进行比较的办法：

给你一架天平用来比较珍珠的重量，我们珂以比出两个珍珠哪个更重一些，在作出一系列的比较后，我们珂以将某些肯定不具备中间重量的珍珠拿走。

例如，下列给出对 $5$ 颗珍珠进行四次比较的情况：

（1）珍珠 $2$ 比珍珠 $1$ 重

（2）珍珠 $4$ 比珍珠 $3$ 重

（3）珍珠 $5$ 比珍珠 $1$ 重

（4）珍珠 $4$ 比珍珠 $2$ 重

根据以上结果，虽然我们不能精确地找出哪个珍珠具有中间重量，但我们珂以肯定珍珠 $1$ 和珍珠 $4$ 不珂能具有中间重量，因为珍珠 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 比珍珠 $1$ 重，而珍珠 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 比珍珠 $4$ 轻，所以我们珂以移走这两颗珍珠。

写一个程序统计出共有多少颗珍珠肯定不会是中间重量。

输入

第一行：包含两个用空格隔开的整数 $N$ 和 $M$ ，其中 $1\le N\le 99$ ，且 $N$ 为奇数， $M$ 表示对珍珠进行的比较次数

接下来 $M$ 行每行包括两个用空格隔开的整数 $x$ 和 $y$ ，表示珍珠 $x$ 比珍珠 $y$ 重，两个数之间用空格隔开

输出

一行包括一个整数，表示不珂能是中间重量的珍珠的总数。

样例

样例输入

5 4
2 1
4 3
5 1
4 2

样例输出

2

解题思路

一点模拟

首先看到大小关系，想到差分约束

但是差分约束是用来求解方程的，对于这道题显然不太对

不过没关系，我们珂以用差分约束的思路来做这道题

也就是把大小关系转化为图

首先我们按照题目给出的样例模拟一下：

按照 $a\ge b$ 就建立 $a\rightarrow b$ 的规律，建立一张图如上

观察图像我们珂以发现一个有趣的地方：

如果 $a \rightarrow … \rightarrow b$ 成立，也就是说点 $a$ 能到达 $b$ ，那么一定有 $a \ge b$

这不是废话吗

两条证明

1、在一个有限递增数列 ${a_n}(n=2k+1,k\in N)$ 中，如果存在一个数 $a_i$ ，数列中大于 $a_i$ 的数不少于 $\frac{n+1}2$ 个，那么 $a_i$ 一定不处于这个数列的第 $\frac{n+1}{2}$ 项

证明：

即得易见平凡，仿照上例显然。留作习题答案略，读者自证不难。

2、在一张图中使用 $floyd$ 算法求出最短路后得到最短路邻接矩阵 $d[501][501]$ ，如果 $d[i][j]\lt +\infty$ ，那么 $i \rightarrow … \rightarrow j$ 成立

证明：

反之亦然同理，推论自然成立。略去过程Q. E. D，由上珂知证毕。

其实这两条命题应该算公理

三段核心代码

1、读入转图

int n,m,d1,d2;
//解释一下，既然大于关系能推，小于关系也应该能推，所以要建两个图
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(d1,0x3f,sizeof(d1));
memset(d2,0x3f,sizeof(d2));
for(int i=1;i<=m;i++){
    int u,v;
    scanf("%d%d",&u,&v);
    d1[u][v]=1;
    d2[v][u]=1;
}

2、 $Floyd$

for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            d1[i][j]=min(d1[i][k]+d1[k][j],d1[i][j]);
            d2[i][j]=min(d2[i][k]+d2[k][j],d2[i][j]);
        }

3、判断关系

int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    int tot=0;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(d1[i][j]<=0x3f3f3f30)tot++;
    if(tot>(n>>1))ans++;
    else{
        tot=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(d2[i][j]<=0x3f3f3f30)tot++;
        if(tot>(n>>1))ans++;
    }
}
printf("%d\n",ans);

总结

看到大小关系，一般都要转换为边的关系，应用图论结论求解