Floyd求最小环
Floyd求最小环
一、算法描述
在一张有环的图中，通过 \(O(n^3)\) 的时间效率求出边长最小的环
二、原理与正确性推导
前置知识：
\(\text{Floyd}\) 正确性推导：
Floyd的递推公式如下
\[\\dp[i][j]=\min_{1 \le k \le n}(d[i][k]+d[k][j])
\]
所以，当 \(dp[i][k]\) 和 \(dp[k][j]\) 都取最小值时，由公式珂知 \(dp[i][j]\) 会取到最小值
证明：设 \(i\) 和 \(j\) 之间的最短路径上的节点集中(不包含 \(i\) 、 \(j\) ),编号最大为 \(x\)
\[\therefore 当k=x时，d[i][j]一定能得到最小值
\]
\[用强归纳法证明
\]
\[设i到x中间编号最大的是x_1，x到j中间编号最大的是x_2
\]
\[\because x是i到j中间编号最大的
\]
\[\therefore x_1\lt x,x_2\lt x
\]
\[\therefore 根据结论，k=x_1时，d[i][k]已取得最小值
\]
\[k=x_2时d[x][j]已取得最小值
\]
\[\therefore 当k=x时，d[i][k]和d[k][j]都已取得最小值
\]
\[\therefore 当k=x时，d[i][j]能取得最小值
\]
\[\tiny Q.E.D
\]
既然已经证明了上面的公式是正确的，那么根据公式写出的 \(Floyd\) 算法也应是正确的
我们首先写出 \(Floyd\) 的核心代码
for(int k=1;k<=n;k++)//以k为中转点
for(int i=1;i<=n;i++)//i为起点
for(int j=1;j<=n;j++)//j为终点
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
对这个算法进行分析珂知
在 \(Floyd\) 算法枚举第 \(k\) 个中转点时，已经得到了前 \(k-1\) 个中转点的最短路径
这 \(k-1\) 个点不包括点 \(k\) ，并且他们的最短路径也不经过点 \(k\) （排除起点、终点）
那么我们从前 \(k-1\) 个点中选取两个点 \(i,j\)
由上珂知：由 \(i\) 到 \(j\) 的最短路径已经求出
如果 \(j\) 能到 \(k\) ，且 \(k\) 能到 \(i\)
那么连接 \(i-j-k-i\) ，我们就得到了包含 \(\{i,j,k\}\) 三个点的最小环
最后枚举所有用这个方法算出的最小环，求最小即珂
三、例题及代码
由于题目中的 \(1\le n\le 100\) ，我们珂以用时间效率为 \(O(n^3)\) 的 \(Floyd\) 来求最小环
核心代码：
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<k;i++){
for(int j=i+1;j<k;j++){
ans=min(ans,dis[i][j]+a[j][k]+a[k][i]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
dis[j][i]=dis[i][j];
}
}
}
AC代码：云剪贴板
四、优缺点
优点
代码简单，珂以直接当作模板背下来
缺点
\(O(n^3)\) ，大部分题都没戏
同时因为使用邻接表存图，所以内存也堪忧
