「笔记」“一些”恒等式

其实到目前就写了俩……见到的话可能还会更新吧，不过马上就退役了，大概也见不到了

婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

\[\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\end{aligned} \]

证明

将式子展开即可。

\[\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+2a^2b^2c^2d^2-2a^2b^2c^2d^2\\&=(a^2c^2+b^2d^2+2a^2b^2c^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2-2a^2b^2c^2d^2)\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\&=(a^2c^2+b^2d^2-2a^2b^2c^2d^2)+(a^2d^2+b^2c^2+2a^2b^2c^2d^2)\\&=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\end{aligned} \]

拉格朗日恒等式

\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)=(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2+\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 \]

证明

用非常复杂的方法证明了这东西……

首先：

1. \(\sum\limits_{1\le i<j\le n}x=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nx\)

   容易理解……

2. \((\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2=\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j\)

   表示多项的平方和为每项的平方加上任意两项之间的的乘积的 \(2\) 倍的和

然后化简式子：

\[\begin{aligned}&(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)-(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}a_i^2b_{j}^2-(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\\=&(\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_i^2b_j^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_j^2b_i^2)-(\sum\limits_{i=1}^na_i^2b_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j)\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_i^2b_j^2+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_j^2b_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^na_ib_ia_jb_j\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ia_jb_ib_j)\\=&\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n(a_ib_j-a_jb_i)^2\\=&\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\end{aligned} \]

证毕。

用拉格朗日恒等式证明柯西不等式

柯西不等式的形式如下：

\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)\geq (\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2 \]

现在我们已知拉格朗日恒等式成立，即

\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)=(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2+\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 \]

又因为 \(\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\) 的值 \(\ge0\)，所以有

\[(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)\geq (\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2 \]

即柯西不等式。