从0开始的博弈论

写在前面

菜鸡乱学

被 D 了，不学了

参考资料

Attack佬的博弈总结

扶咕咕的【博弈论】Nim游戏

YYB佬的博弈论总结

巴什博奕

巴什博奕是最简单的一种博弈。

问题模型

两个绝顶聪明的人在玩取石子游戏，一共有 \(n\) 颗石子，游戏规则如下：

• 两个人轮流取石子.
• 每次可以取 \(1\sim m\) 颗石子，不能不取.
• 最先不能取到石子的一方失败.

现在让你判断谁会获胜。

绝顶聪明的意思就是指都会按当前对自己最优的策略取石子，不会出现故意让对手赢的情况。

问题分析

分多种情况考虑：

1. 只有 \(1\sim m\) 颗石子。

   显然先手必胜，直接取走全部石子即可。

2. 有 \(m+1\) 颗石子。

   此情况先手必败，假设先手选出 \(x\) 颗石子，那么后手必然会选出剩下的 \(m+1-x\) 颗石子，之后先手无法再选，也就是说无论先手选出多少颗石子，后手都可以把石子取完。

3. 有 \(m+1\sim 2\times m\) 颗石子。

   此情况先手必胜，先手可以选出若干颗石子，使石子剩下 \(m+1\) 颗，然后后手就遇到了情况2，后手无论取出多少颗，先手都可以把剩下的石子取完。

由上面的分析容易发现当一个人面对 \(m+1\) 颗石子时，他就必败了。

推广至一般的情况：

1. 当 \((m+1)|n\)，即 \(n\) 是 \(m+1\) 的倍数时，先手必败。

   假设有 \(n=k\times(m+1)\) 颗石子。

   先手取出 \(x\) 颗石子，后手就可以取出 \(m+1-x\) 颗石子，石子变为 \((k-1)\times(m+1)\)，一直这样到最后先手面对 \((m+1)\) 颗石子，由上面的分析可知这个时候他就必败了。

2. 否则先手必胜。

   设石子有 \(n=k\times(m+1)+r\) 颗，先手取出 \(r\) 颗石子，就能让后手面对情况1，此时先手必胜。

这样就分析完了全部情况，判断 \(n\) 是否是 \(m+1\) 的倍数即可。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;

int main() {
  cin >>　ｎ　>> m;
  if (n % (m + 1) == 0) puts("houshou");
  else puts("xianshou");
  return 0;
}

例题

HDU1846 Brave Game

裸题，直接判断即可。

HDU 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!

类似巴什博奕，但是又不太像，仔细思考吧。

HDU 2188 选拔志愿者

裸题，转化一下即可。

HDU4764 Stone

裸题，转化一下即可。

HDU2149 Public Sale

有点耗脑子了，但是也不难。

Nim游戏

问题模型

两个绝顶聪明的人在玩取石子游戏，一共有 \(n\) 堆石子，规则如下：

• 两个人轮流取石子.
• 可以取走一整堆石子，也可以取走一堆石子里的任意个，但是不能跨堆取，不能不取.
• 最先不能取到石子的一方失败.

判断谁能获胜。

问题分析

解决方法很简单，直接求出每一堆石子数量的异或和，如果异或和为 \(0\) 则先手必败，否则先手必胜。

nim游戏的结束条件很简单，当所有石子的数量都为 \(0\) 时，下一个拿石子的人就失败了，此时的局面是 \(0\bigoplus0\bigoplus0...\bigoplus0=0\)。

设每一堆的石子数为 \(a_i,i\in{[1,n]}\)。

• 对先手来说，如果当前局面是 \(a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3...\bigoplus a_n=k\)。那么当前石子中必定存才一个 \(a_i\) 满足 \(a_i\) 的二进制表示里存在 \(k\) 的最高位，否则 \(k\) 的最高位异或和应该是 \(0\)。令这个 \(a_i\bigoplus k\)，局面就变成了 \(a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3...\bigoplus a_n=0\)，此时先手必胜。
• 对于先手来说，如果当前局面是 \(a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3...\bigoplus a_n=0\)，那么我们不可能将某个 \(a_i\) 异或一个数字之后使得 \(a_1\bigoplus a_2\bigoplus a_3...\bigoplus a_n=0\)，此时先手必败。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, a[A];

inline void solve() {
  cin >> n;
  int now = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
    now = now ^ a[i];
  }
  if (now) puts("Yes");
  else puts("No");
}

int main() {
  int T = read();
  while (T--) solve();
}

例题

P2197 【模板】nim游戏

板子题。