背包问题总结

背包问题是一大类问题。
我们不妨设有\(n\)个物品，背包容量为\(m\)，每个物品大小为\(c\)，个数为\(d\)，价值为\(w\)。
大写字母表示求和。
01背包，完全背包，分组背包：直接dp即可。时间复杂度\(O(nm)\)。
多重背包：单调队列优化或二进制拆分。\(O(nm)\)或\(O(nmlogd)\)。枚举余数进行单调队列。
树形背包：选择父亲才能选择儿子。
树形dp或者dfs序列上dp。建议后者。\(O(nm)\)。
超大背包：体积很大，价值很小。
按照价值DP即可。dp(i,j)表示考虑到i，价值为j，最小体积。\(O(n^2w)\)，即\(O(nW)\)。
价值体积都很大的背包：中途相遇法。\(O(2^{\frac{n}{2}})\)。
01背包，\(n,m\)都比较大，但\(c\)很小：
把物品按照\(c\)整理。
按照c去依次计算，设\(f(x,i)\)表示考虑到体积为\(x\)的物品，容量为\(i\)。
对于模\(x\)意义下相等的数，从小到大满足决策单调性，使用分治，可以把复杂度降低至\(O(nlogn+mclogm)\)。
分数背包：直接按照\(\frac{w}{c}\)排序，贪心选择。\(O(nlogn)\)。‘
超多背包：\(m,d\)都很大。只有\(w\)比较小。
考虑分数背包的贪心做法，但这个显然是错误的。
不过可以发现，只有对于每个物品的零散部分才可能出错。
把每个物品拆分为两个部分：小于等于\(w\)的部分。大于\(w\)的部分。
后者直接贪心即可。前者使用“超大背包”和单调队列优化即可。\(O(n^2w^2)\)。

还有几种不属于背包问题，但是差不多的问题。
完全背包计数：参见此题。
没有容量，只有价值或者代价，同时选择有额外价值的背包：
考虑文理分科模型，或者某种最小割。

没了。

希望自己情感事业一帆风顺。