NOIP2020微信步数

先考虑\(O(nkw)\)的30分暴力。
显然，每个维度上走过的位置是一个区间。
只要走的步数确定，那么这个区间关于起点位置的相对位置也就确定了。
只要先算出每个循环向左/右所走的最远距离，以及一个循环的移位即可。
这样，考虑一个算法：
枚举走了多少步结束，并算出贡献（就是算出满足条件的起点数目）。
先枚举走出区域的上一步，走到了循环节中的哪个位置，以及走了多少循环节。
由于不能走出区域，于是可以根据每个维度的区间来算出这个维度的起点所在区间。
设下一步修改的维度为\(c\)。根据对应的\(d\)，容易算出这个维度的起点位置。
那么，这个位置必须在起点区间内。
满足这个条件的基础上，把其他维度的起点区间长度相乘就是起点数目。

考虑优化：

这个算法的主要瓶颈在于对循环节数的枚举。
设走过的循环节数目为\(x\)。
那么，不难发现，每个维度的区间的相对位置（即左右端点与起点的距离）是关于\(x\)的一次函数。
由于这一维度的方案数等于\(w+1\)减去区间长度，因此这也是关于\(x\)的一次函数。
根据这个区间长度为正数，可以得出\(x\)的取值范围。
同时，维度\(c\)的起点位置也是关于\(x\)的一次函数。
根据这个位置必须在起点区间内部，进一步缩小\(x\)的取值范围。
这样，答案就是对于每个\(x\)，这些一次函数在\(x\)处的值的乘积的和。
暴力进行多项式乘法并用自然数幂前缀和即可。
时间复杂度\(O(nk^2)\)。

注意这个写法，可能要对\(x=0\)进行特判。

代码（非常丑）：

#include <stdio.h>
#define inf 1999999999
#define md 1000000007
#define min(a,b) a<b?a:b
#define max(a,b) a>b?a:b
int az[12],al[12],ar[12],w[12],aa[500010][12];
int B[12],C[500010],D[500010],la[500010][12],ra[500010][12];
int ksm(int a,int b)
{
	int jg=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
			jg=1ll*jg*a%md;
		a=1ll*a*a%md;
		b=(b>>1);
	}
	return jg;
}
int Cc[12][12],xs[12][12];
void GetB(int k)
{
    B[0]=1;
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0||j==i)
                Cc[i][j]=1;
            else
                Cc[i][j]=(Cc[i-1][j]+Cc[i-1][j-1])%md;
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int h=0;
        for(int j=0;j<i;j++)
            h=(h+1ll*Cc[i+1][j]*B[j])%md;
        B[i]=1ll*(md-h)*ksm(i+1,md-2)%md;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int ny=ksm(i+1,md-2);
        for(int j=0;j<=i;j++)
            xs[i][i+1-j]=1ll*Cc[i+1][j]*B[j]%md*ny%md;
    }
}
struct SLi
{
	int k,b;
	SLi(){}
	SLi(int K,int B)
	{
		k=K;b=B;
	}
	SLi(int Z)
	{
		k=0;b=Z;
	}
	int f(int x)
	{
		return (1ll*k*x+b)%md;
	}
};
SLi operator-(const SLi &x,const SLi &y)
{
	return SLi(x.k-y.k,x.b-y.b);
}
int Sum(int k,int n)
{
    if(k==0)
        return n+1;
    int jg=0;
    for(int i=0,j=1;i<=k+1;i++)
    {
        jg=(jg+1ll*j*xs[k][i])%md;
        j=1ll*j*(n+1)%md;
    }
    return jg;
}
struct DXS
{
	int sz[12],n;
    void operator=(const DXS &a)
    {
        n=a.n;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            sz[i]=a.sz[i];
    }
	void clear()
	{
		for(int i=1;i<=10;i++)
			sz[i]=0;
		sz[0]=1;n=0;
	}
	int sum(int l,int r)
	{
		int ans=0;
		for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			int t=(Sum(i,r)-Sum(i,l-1)+md)%md;
			ans=(ans+1ll*sz[i]*t)%md;
		}
		return ans;
	}
};
DXS operator*(const DXS&x,const SLi&y)
{
	DXS rt;
	rt.n=x.n+1;rt.sz[rt.n]=0;
	for(int i=0;i<=x.n;i++)
		rt.sz[i]=1ll*y.b*x.sz[i]%md;
	for(int i=0;i<=x.n;i++)
		rt.sz[i+1]=(rt.sz[i+1]+1ll*y.k*x.sz[i])%md;
	return rt;
}
struct SQj
{
	int l,r;
	SQj(){}
	SQj(int L,int R)
	{
		l=L;r=R;
	}
};
SQj jiao(const SQj&a,const SQj&b)
{
	return SQj(max(a.l,b.l),min(a.r,b.r));
}
int floor(int,int);
int ceil(int x,int y)
{
	if(y<0)
		x=-x,y=-y;
	if(x>=0)
		return (x+y-1)/y;
	return -floor(-x,y);
}
int floor(int x,int y)
{
	if(y<0)
		x=-x,y=-y;
	if(x>=0)
		return x/y;
	return -ceil(-x,y);
}
SQj Less(SLi a,SLi b)
{
	int x=a.k-b.k,y=b.b-a.b;
	if(x==0)
		return y>=0?SQj(-inf,inf):SQj(inf,-inf);
	if(x>0)
		return SQj(-inf,floor(y,x));
	return SQj(ceil(y,x),inf);
}
SQj More(SLi a,SLi b)
{
	int x=a.k-b.k,y=b.b-a.b;
	if(x==0)
		return y<=0?SQj(-inf,inf):SQj(inf,-inf);
	if(x>0)
		return SQj(ceil(y,x),inf);
	return SQj(-inf,floor(y,x));
}
int cal0(int n,int i,int k)
{
	int l[12],r[12],jg=1;
	for(int c=1;c<=k;c++)
		l[c]=la[i][c],r[c]=ra[i][c];
	for(int c=1;c<=k;c++)
	{
		int zl=1-l[c],zr=w[c]-r[c];
		if(c!=C[(i+1)%n])
		{
			int s=zr-zl+1;
			if(s<0)s=0;
			jg=1ll*jg*s%md;
		}
		else
		{
			int t=aa[i][c],s=0;
			if(D[(i+1)%n]==1)
			{
				int o=w[c]-t;
				if(o>=zl&&o<=zr)
					s+=1;
			}
			else
			{
				int o=1-t;
				if(o>=zl&&o<=zr)
					s+=1;
			}
			jg=1ll*jg*s%md;
		}
	}
	return 1ll*(i+2)*jg%md;
}
int main()
{
	//freopen("walk.in","r",stdin);
	//freopen("walk.out","w",stdout);
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);GetB(k);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&C[i],&D[i]);
		if(i>0)
		{
			for(int j=1;j<=k;j++)
				aa[i][j]=aa[i-1][j];
		}
		aa[i][C[i]]+=D[i];
		az[C[i]]+=D[i];
		if(az[C[i]]<al[C[i]])
			al[C[i]]=az[C[i]];
		if(az[C[i]]>ar[C[i]])
			ar[C[i]]=az[C[i]];
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			la[i][j]=al[j];
			ra[i][j]=ar[j];
		}
	}
	bool zd=false;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(az[i]||ar[i]-al[i]>w[i])
		{
			zd=true;
			break;
		}
	}
	if(!zd)
	{
		printf("-1");
		return 0;
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(i!=C[0])
			ans=1ll*ans*w[i]%md;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		ans=(ans+cal0(n,i,k))%md;
		SLi l[12],r[12],d[12];
		for(int c=1;c<=k;c++)
		{
			if(az[c]>=0)
			{
				l[c]=al[c];
				int t=az[c]+ra[i][c];
				if(ar[c]>t)t=ar[c];
				r[c]=SLi(az[c],t-az[c]);
			}
			else
			{
				r[c]=ar[c];
				int t=az[c]+la[i][c];
				if(al[c]<t)t=al[c];
				l[c]=SLi(az[c],t-az[c]);
			}
			d[c]=r[c]-l[c];
		}
		int tc=C[(i+1)%n];SLi o;
		SLi tz=SLi(az[tc],aa[i][tc]);
		if(D[(i+1)%n]==1)
			o=w[tc]-tz;
		else
			o=1-tz;
		SLi zl=1-l[tc],zr=w[tc]-r[tc];
		SQj qj=jiao(More(o,zl),Less(o,zr));
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
            d[i]=w[i]-d[i];
			qj=jiao(qj,More(d[i],1));
		}
		qj=jiao(qj,SQj(1,inf));
        if(qj.l>qj.r)continue;
        DXS ji;ji.clear();
        ji=ji*SLi(n,i+2);
        for(int c=1;c<=k;c++)
        {
            if(c!=tc)
                ji=ji*d[c];
        }
        ans=(ans+ji.sum(qj.l,qj.r));
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}