P6730 [WC2020] 猜数游戏

首先，考虑一个问题：有一张有向图，选择最少的点，使得每个点都能由这些点出发而到达。
可以用如下方法：
先tarjan缩点，变成DAG。然后在入度为0的SCC中各选一个点。
正确性显然。
对于这道题，先预处理出所有数之间的关系，方法等下讲。然后暴力就是枚举\(2^n-1\)种情况，再套用上述做法。
正解就是考虑每个SCC的贡献，实现非常简单。
考虑如何处理出所有数之间的关系：
不难发现这就是BSGS的判定。可以暴力BSGS。
但其实有更好的方法。
首先，求出原根g。
然后，设\(ord_i\)表示使\(g^{ord_i}=a_i (Mod P)\)的最小整数。
那么，若\(gcd(ord_i,\phi(P))|ord_j\)，则i能推出j。
因此只要求出\(k_i=gcd(ord_i,\phi(P))\)，即可。
容易证明，这个等价于求使得\({a_i}^{\frac{\phi(P)}{k}}=1 (Mod P)\)的最大的k。这个把\(\phi(P)\)质因数分解，用快速幂判断即可。
代码略。