决策单调性总结

决策单调性，通常用于$1d/1d$。
就是说，对于任意$a<b<c<d$，若满足在c处转移到b比a优，那么在d处也满足。
另外一种理解：转移决策点单调不降。
证明：主要靠打表。
得到这个性质后，我们有两种方法：

1、分治法

每次取分治区间的中点，并暴力在可行区间内找到它的最优转移位置。
之后，根据这个位置，分治两边的位置，并缩小可行区间的范围。
时间复杂度：$O(nlogn)$。
并且，它满足一个性质：若转移点为$(l,r)$，那么$l,r$的移动距离之和为$O(nlogn)$，即均摊$O(1)$，有时可以用类似莫队的方法。
优点：好写，好理解，并且找转移位置是连续寻找的，有的问题会比较方便。
缺点：要求dp之间没有依赖（即没有计算顺序的要求），比如多阶段dp。

2、二分+双端队列法

我们按照顺序进行dp，并维护每个位置当前状态下的最优转移位置。
当计算到$i$时：
首先，算出$dp(i)$。
其次，算出用它转移的区间。根据定义，只要找到第一个用$i$转移比当前更优的位置，那么之后的都是由它转移更优。
这个位置可以使用二分查找。
因此，我们需要实现后缀覆盖，$O(1)$单点查询。似乎不容易。
由于后缀覆盖具有均摊性，我们考虑维护转移位置相同的若干段。
维护一个队列，每个节点记录它对应的区间，和转移位置。
在二分查找时，我们从队尾反向遍历，并在这个区间内二分查找，若找不到，则退出。否则，把这个从队尾扔出。
若没有完全覆盖，则把这个区间缩小。最后，在队尾加入当前区间。

注意：
1、在依次计算dp时，要把队首没用的弹出。
2、在二分查找时，左端点要和$i+1$取$\max$。
3、要特判$i$不能更新任何位置的情况。

优点：适用情况更普遍，比如诗人小G
缺点：细节较多，难以理解，相对难写。

刚才那题的代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define ld long double
ld dp[100010];
ld ksm(ld a,int b)
{
	ld jg=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
			jg*=a;
		a*=a;b=(b>>1);
	}
	return jg;
}
char zf[100010][31];
int he[100010],wz[100010],st[100010],l,p;
ld cal(int i,int j)
{
	return dp[j]+ksm(fabs((he[i]-he[j]-1)-l),p);
}
struct SJd
{
	int l,r,z;
	SJd(){}
	SJd(int L,int R,int Z)
	{
		l=L;r=R;z=Z;
	}
};
SJd dl[200010];
int efcz(int l,int r,int x,int y)
{
	while(l<r)
	{
		int m=(l+r)>>1;
		if(cal(m,x)<cal(m,y))
			r=m;
		else
			l=m+1;
	}
	return l;
}
int main()
{
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&l,&p);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%s",zf[i]);
			he[i]=strlen(zf[i])+he[i-1]+1;
		}
		dl[0]=SJd(1,n,0);
		for(int i=1,he=0,ta=1;i<=n;i++)
		{
			while(he<ta&&i>dl[he].r)
				he+=1;
			int j=dl[he].z,zd=false;
			dp[i]=cal(i,j);wz[i]=j;
			while(he<ta&&efcz(max(dl[ta-1].l,i+1),dl[ta-1].r+1,i,dl[ta-1].z)<=dl[ta-1].r)
				ta-=1,zd=true;
			if(!zd)continue;
			int l=efcz(max(dl[ta].l,i+1),dl[ta].r,i,dl[ta].z);
			if(l>dl[ta].l)
				dl[ta++].r=l-1;
			dl[ta++]=SJd(l,n,i);
		}
		if(dp[n]>1e18)
			printf("Too hard to arrange\n");
		else
		{
			printf("%.0Lf\n",dp[n]);
			int u=n,m=0;
			while(u>0)
			{
				st[m++]=u;
				u=wz[u];
			}
			for(int i=m-1,la=0;i>=0;i--)
			{
				for(int j=la+1;j<=st[i];j++)
				{
					printf("%s",zf[j]);
					if(j<st[i])printf(" ");
				}
				la=st[i];
				printf("\n");
			}
		}
		printf("--------------------");
		if(T>0)printf("\n");
	}
	return 0;
}