总结

目录

一、常见错误

代码细节

  1. 当两个特别大的数相乘后取模时，要使用快速乘。
  2. 注意：使用long long时，要检查传参是否传int。
  3. 注意：不要3数连乘 不要int×int 不要忘记负数 不要忘模 （long long范围）。
  4. 数组大小，乘2，乘4等问题。
  5. 数组类型，连续定义有时会错（如把int定义成bool）。
  6. 不要忘记初始化。
  7. 多测清空问题：每定义一个变量，数组，就要添加对应的清空代码。
  8. 除法，逆元可能被卡（虽然模数是质数，但除数模完后，可能是0）。要尽量避免求逆元。对于上述情况，可以定义一个结构体维护，额外记录下0的个数。
  9. 不能直接把字符串（char*）作为stl容器的类型，可以转换为string或手写比较函数，否则会错。

其它

  1. 2-SAT:a->b即!b->!a 两条边都要连。

  2. splay,lct注意事项：

    1. 旋转时fa的连接。

    2. 旋转时新根的fa。

    3. 旋转时旧根的fa的儿子要赋值为新根。

    4. 维护标记：

      旋转后，2次上传
      splay前，下放标记
      access更换重儿子时，上传
      cut后，上传（也许）

  3. 行列式，高斯消元等的乘法值要预处理出来，否则会错，就是

    int t=1ll*sz[j][i]*ksm(sz[i][i],md-2)%md;

  4. 线段树合并，主席树的空间要略大于\(O(nlogn)\)。

  5. 线段树合并要特判叶子节点。

  6. a/b 向上取整 (a+b-1)/b 要特判负数。

  7. 注意输出-0.00的问题。

  8. 使用标记永久化，上传时要注意考虑标记。

  9. 主席树在新建节点时要把原来的复制全。

  10. 点在多边形内部判定，需要考虑点在边界上的情况。

  11. 在树dfs时，如果需要的临时变量是公用的，那么需要先进行所有子树的dfs，防止正在使用的这个变量被子树破坏（通常是树形背包）。

  12. 如果题目中要求无解输出-1，那么需要特判这种情况，以免会输出-inf。

  13. 读题时要认真仔细，把题目条件和要求看全。

  14. &&和||是短路运算符，即前半部分满足要求就不会执行后半部分。而这有时可能会造成问题。

  15. 对于multiset，erase(x)会删除所有元素x。如果只想删去一个，可以使用erase(find(x))，用迭代器删除。

  16. 在程序调试或卡常时，尽量不要开O2优化。比如在使用除0进行断点调试时，O2可能无法收到浮点数例外。

  17. 注意自环重边。

  18. 用double尽量要注意值域问题，避免丢精。可以考虑一些代换以缩小值域。

  19. double意义下的组合数用杨辉三角比阶乘精度高。

二、一些技巧

一、动态规划

DP设计

  1. 互质数的选择，当质因数较大时采用分组背包，较小时状压记录，以平方根为界（luogu寿司晚宴）。

  2. 对于状态转移有环的动态规划，使用如下方式求解：

    1. 若转移里没有max/min，只有加减乘除运算，可以建立方程组，通过高斯消元在O(n^3)得出解。

    2. 若转移只是对一些元素取max/min（或第k大/小值），再加/减一个值，可以建图，使用dij或spfa求解。

    3. 若u依赖v，且若v能更新u，则dp[u]>=dp[v]，且求的是min（例如dp(u)=min(S(u)+∑dp[v],K(u))）。

      每次：

      1：把值最小的点标记
      2：if 一个点u依赖的所有v都被标记
      计算dp(u)，并标记u，
      3：回到1
      直到所有点被标记。
      就结束。

    4. 若2，3都不满足，可以使用如下方法：
      先把每个点都入队，每次从队首取出u，并计算dp(u)，若dp(u)发生更新，则把依赖u的v都加入队列（前提是v不在队列中）。
      这个方法很像spfa，但时间复杂度最坏为O(nm)。

    例题：模拟赛tiger，luogu 骑士游戏

  3. 每次找一段删除，删除后自动合并的DP的一种解决方法：

    先设dp(i,j)表示考虑i~j的结果
    然后，考虑i这个点的情况：i一定是和之后的几段一起合并后删除
    例如：i j
    -----*****--@@-&&&&&--------
    而中间的几段一定不能一起删除

    因此，像
    ------####------#####-------

    这种情况是不可能的
    所以，中间的段就是单独的子问题了。
    还要加一组状态k，表示之前的连续段的信息。

  4. 对于树形背包，通常，我们有两种方法：

    基于dfs合并，可以知道每个点的确切情况（比如子树中选了多少），但是，复杂度较高（因为合并背包很慢）。
    在dfs序上DP，复杂度较低，但是，不能 知道每个点的确切情况（因为是在序列上）。

  5. 有字典序限制的DP（以大于为例）：

    通常，我们有两种方法：
    1、记录下当前是“放什么都大于（之前已经大于）”，还是“放大于的才大于”。
    这个通常用于数位dp
    但是，这个会使数有本质区别，难以处理。
    2、确定一个前缀一模一样，下一位大于，之后随意。
    这样我们可以根据前缀算出当前状态，并且之后的dp不受影响。
    但是，有时这样复杂度较高，并且，如果有多个有字典序限制，这个方法就不适用了。

  6. 若在树上进行类似“随机游走的”DP，可以不用高斯消元：

    1、设\(f_u\)=\(k_u*f_{fa}+b_u\)。
    2、由于u的计算仅依赖u的父亲和儿子，把儿子用“1”的方法表示，儿子的父亲是本身，这样u就只依赖u和父亲。
    3、通过移项，使u仅依赖父亲，进而表示为“1”中的形式。
    4、最后，根节点的b就是答案。

  7. 有些容斥原理可以DP，在奇偶性改变时，取相反数即可。

  8. 关于连通图计数的DP，可以设\(dp_i\)表示\(i\)个点连通的方案数，转移时先算出方案总数，再减去不连通的。不连通的可以枚举编号最小的点所在连通块的点数\(j\)，用\(dp_i\)减去\(dp_j*x\)，其中\(x\)是剩余的\(i-j\)个点的方案总数。当图相对复杂（比如完全二分图）时，可以增加一维状态，同时也要多一层枚举。

  9. 树形的有依赖dp也可以分两次dp，分别考虑向上和向下传递（即换根dp）。

  10. dp套dp：通过外层dp，算出使某个问题的解为给定值的方案数等，其中这个问题需要用内层dp解决。
    按照内层dp所需要的输入顺序进行外层dp，将内层dp转移所需要的依赖（可以观察填表的过程）通过状压记录成状态（可以预处理出这些状态的转移自动机），进行dp。

  11. 数位DP可以统计L到R之间的\(f(x)\)之和。要求f只和x的数位有关。若f本身就是递推式，可以按照f的递推顺序进行数位DP，并设F表示在限制下f之和，并把f的转移式子改成F的。

  12. 数位DP若需要记录进位信息，可以从低位到高位进行dp。例题

  13. 有时，可以用两种方式表达计数DP，根据这两种表示法相等的，来列方程求解。

  14. 秩为x的矩阵计数可以DP，只要记录当前的秩，转移时考虑是否增加秩即可。

  15. 麻将题（横三竖三的），可以dp，因为三个横的就能变成三个竖的，因此横的不会超过2个，可以压进dp状态。具体细节

  16. 区间DP通常有两种转移形式：从两端删除，或从中间分裂。

  17. 涉及到矩形计数，最大矩形等问题时，可以考虑悬线法，配合单调栈，枚举一个数作为区间的最小值。

  18. 网格图中的放置可以考虑插头DP，就是记录当前考虑的行上面每一列的信息。

  19. 记录几个变量的相等关系，可以使用最小表示法。

  20. 类似双人猜数游戏的问题，可以使用DP：设f(i,...)表示答案为...，在第i步能否猜出。则f(i,...)=f(i-2,...)，同时如果与...产生混淆xxx的都满足f(i-1,xxx)=1，且f(i-1,...)=0，则f(i,...)=1。

DP优化

  1. 对于有些DP，可以先设计出比较简单的状态后，去掉一些无用状态，等价状态，进行优化。（可以使用记忆化搜索）

  2. 带权二分：若选择dp等满足凸性，可以用直线切割凸包，将选的代价修改，通过二分找到合适的位置。

  3. 在对DP进行卡常优化时，可以试试改成记忆化搜索，有时能快很多。

  4. 如果转移时需要枚举相交的区间，可以使用容斥，转化为枚举不相交的区间，这样l和r就没有联系了，可以分开计算，从而减少一维。

  5. 决策单调性总结

  6. 对于一般的01背包，复杂度为\(O(NM)\)，但如果物品体积的范围C不算大，可以按照C去依次计算，当考虑到体积为x的物品时，对于模x意义下相等的数，从小到大满足决策单调性，使用分治，可以把复杂度降低至\(O(NlogN+MClogM)\)。

    void dfs(int l,int r,int l2,int r2,int x,int s)
{
	if(l>r)return;
	int m=(l+r)>>1,wz=0;
	for(int y=l2;y<=r2&&y<=m;y++)
	{
		if(m-y>=su[x].size())
			continue;
		ll t=dp[x*y+s]+su[x][m-y];
		if(t>jh[x*m+s])
			jh[x*m+s]=t,wz=y;
	}
	dfs(l,m-1,l2,wz,x,s);dfs(m+1,r,wz,r2,x,s);
}

for(int i=1;i<=300;i++)
{
	for(int s=0;s<i;s++)
	{
		int t=(k-s)/i;
		dfs(0,t,0,t,i,s);
	}
	for(int x=1;x<=k;x++)
	{
		dp[x]=jh[x];
		jh[x]=0;
	}
}

  7. 在dp转移时如果需要卷积，但是和他卷积的数组差分后容易维护（比如\(dp(i)=\Sigma dp(i-j)*j\)），可以不用NTT，直接用前缀和维护。

  8. 解决LIS问题，如果序列很长，但序列具有相似性，且值域不大，也可以设\(dp(x,y)\)表示以x结尾，长度为y的LIS，然后按顺序枚举x，滚动数组进行更新。

  9. 对于递推，如果需要区间询问（比如询问区间内不同子序列数目），可以把转移写成矩阵，然后算出前缀积和逆矩阵的前缀积。注意乘法的顺序

  10. 每次把子节点的其中一维DP状态取最大/最小的DP可以使用线段树合并优化。(NOID1T2)

  11. 枚举子集可以使用复杂度为\(O(3^n)\)的做法，如果不需要使用所有子集的补集的信息（比如向所有子集连边），也可以每次去掉一个元素，复杂度\(O(n2^n)\)。

  12. 计数DP如果转移时有多重循环，并且他们之间存在一定的不相关性，可以拆成多步进行DP，或者使用乘法分配律进行优化。这个技巧非常常见，但有时不容易发现（AT5620，USACO_PT_T2）。

  13. 对于一些树形DP，有可能满足\(f_{i,j}\)是关于\(j\)的分段函数。由于分段函数相加，求前后缀最值都不会改变总段数，因此可以证明段数和子树大小相关。用线段树合并或者可并堆维护折线可以优化算法。（APIO烟火，树上保序回归等等）

  14. 数位DP如果有多组询问，可以先在不考虑字典序的情况下设\(f(n,S)\)表示后n位数，前面的数位造成的影响为\(S\)的答案。

    询问时枚举lcp长度和第一个不同的数字并算出对应的\(S\)，然后直接利用算好的数组更新答案即可。这样就不需要每次都DP

    了。

  15. 计算方案数的背包问题中，如果要删除物品，可以使用多项式除法O(m)计算，没必要重来一遍。用这种思想来优化多组询问的背包很常见。（抽奖机，假面）

二、字符串

  1. AC自动机算法在匹配时，在fail树上的链将都被匹配，所以经常与树上算法联合使用（luogu P3796，luogu P2336喵星球上的点名）。
  2. 后缀自动机跳fail的注意事项 (压缩字符串)。
  3. 处理类似重复子串的问题，可以考虑枚举长度L，然后每隔L放一个关键点，并计算相邻的关键点的lcp，lcs等信息。
  4. 扩展后缀数组：在trie树上构建，使用倍增，类似普通SA。
  5. 处理回文的问题时，可以枚举回文中心。为了减少细节，有时可以在每个字符后面加入#等特殊字符。
  6. 回文自动机（PAM）
  7. 前后添加的哈希，可以从中间开始，维护左边的后缀，右面的前缀的（从左到右的）哈希值。询问子串时拼接即可。或者维护懒标记。
  8. 某定理：本原平方串为所有形如\(AA\)的串。其中\(A\)不是整周期循环串。所有本原平方串的个数是\(O(nlogn)\)的。本质不同的本原平方串的个数是\(O(n)\)的。详见循环串。
  9. Border：一个字符串的\(border\)可以拆分为\(O(logn)\)个等差数列，这个性质常常用于\(DP\)优化。回文的回文后缀就是border。
  10. 判断双回文串只要检查最长回文前后缀即可。

三、数学

数论等

  1. \(O(1)\)快速乘代码：

    ll ksc(ll a,ll b)
{
	return (a*b-(ll)((long double)a/md*b)*md+md)%md; 
}

  2. 中国剩余定理，可以在计算时之算出前缀积（变算边乘），复杂度可以从\(O(n^2)\)降到\(O(n)\)，在计算时调整下余数即可。如果需要高精维护，此法可以起到优化。

  3. 1到n中所有数的约数的约数个数和大概是\(O(nlog^2n)\)的。

  4. 带变量x的组合数，可以把组合数拆开变成下降幂，用斯特林数+二项式定理表示出系数，从而转化为关于x的多项式。

  5. 如果对实数的精度要求非常高，且运算不复杂，可以定义分数类解决。

  6. BSGS算法在有多组询问时，可以适当增加步长。

  7. 使用对数可以把幂变乘，把乘变加，把除变减。例如：\(y>\frac{k}{x^a}\)，可以变为\(log(y)>log(k)-a*log(x)\)。

  8. 在一个数列中，从某个位置开始的所有前缀的gcd，只有\(logm\)种，可以维护。

  9. 有时，可以对矩阵乘法进行改造，并且，通常改造后会满足结合律。

  10. 同余不等式可以使用递归求解。

  11. 有时，可以利用第二类斯特林数把幂变为若干组合数的和。

  12. 把一个数x拆分成k个数的方案数，可以把x质因数分解，然后对于每种质因数，用组合数插板法计算，再乘到一起。

  13. 对于异或的随机游走或类似的满足卷积性质的，可以用设FWT结果的方法，把特殊值（起点和终点）与其实际的差设为未知数x。设H为用来调整的差值，每项都是\(h_i \times x\)。这样若答案为F，转移为G， 则\(F=F\times G+H，F=\frac{H}{1-G}\)。那么可以求出\(F=xF'\)，\(F'\)为定值。然后可以用已知值把\(x\)求出。

    可以代替高斯消元。

    同时，这类问题也可以转化为集合幂级数。

  14. 当n足够大时，\(n!\) ≈\(\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\)。

  15. 转移规律，比较特殊的随机游走（比如树上，网格内）可以不用高斯消元，直接把每个用了相邻的一些来表达，多次递推即可。

  16. 高斯消元时，如果矩阵有一定规律且非常稀疏，可以优化消元过程。常用于转移依赖有环的DP。

  17. 对于上述问题，如果能找到较少的变量作为主元，使得其他变量都能用主元表示，就可以只对主元进行高斯消元，优化算法。

  18. 模意义下的根号采用类似复数的\(a+b\sqrt{x}\)维护，乘法时暴力展开，除法时分母有理化即可。

  19. 几个积性函数的卷积也是积性函数。因此反演后若答案满足这种形式，可以把n质因数分解，然后把\(p_i^{a_i}\)的答案算出来，乘到一起即可。

  20. （底数一定时）设\(ord(p)\)表示模p意义下的阶，那么若a，b互质，则\(ord(ab)=lcm(ord(a),ord(b))\)。

  21. 解方程\(a^x\mod p=c\)时，若\(p=\Pi {p_i}^{k_i}\)，那么我们可以递推求解，每次把p乘上一个质数并考虑x的变化。复杂度约为\(\Sigma {p_i}\times{k_i}\)

计数

  1. 遇到用若干个数相加组合成一个数的问题，可以考虑同余最短路（NOIP2017 小凯的疑惑，墨墨的等式）。

  2. 平方和问题：考虑平方的实际意义 (二维枚举，二维dp)。带组合数的，也可以用类似做法。

  3. 倍增合并（有时可以使用fft加速合并），有时能比矩阵快速幂少一个m。

  4. 矩阵乘法两种形式：

    1. 数列递推，每次生成一个。
    2. 高维递推优化，每次推进一层。

  5. 枚举，算贡献（相当于交换求和符号）。

  6. 两种容斥原理：交集，并集。（都要考虑到）

  7. 关于匹配的容斥：若有被多次匹配的，就有没被匹配的，按照没被匹配的进行容斥。

  8. 有些计数类的递推（如：\(dp(i,j)=dp(i,j-1)+dp(i+1,j+1)\)），可以画出转移的图后，（通过扭转等）转移为网格图路径计数问题。

  9. 网格图有限制的路径计数：

    1. 只有一个限制（如三角形，j<=i），可以容斥，不合法的可以将起点或终点进行对称。
    2. 有两个限制（如平行四边形中），还是容斥，但要考虑反复经过分界线的情况。如：A，ABA，B，BAB等应减去。AB，BA，ABAB，BABA以及不进行对称等应加上。
    int ans=F(n,n+m);
int a=0,b=0;A(a,b);B(a,b);
ans=(ans+jisuan1(a,b))%md;
a=0;b=0;B(a,b);A(a,b);
ans=(ans+jisuan2(a,b))%md;
a=0;b=0;B(a,b);
ans=(ans-jisuan1(a,b)+md)%md;
a=0;b=0;A(a,b);
ans=(ans-jisuan2(a,b)+md)%md;

  10. 网格图中两条不相交路径计数，可以用总数减去相交的，相交的就是把交点后面的路径交换。

  11. 多项式可以放进矩阵中，进行矩阵快速幂。

  12. 如果多项式的次数始终不是很多，也可以直接用点值法维护，在开始和结束时进行NTT即可。

  13. FFT为了防止炸精，可以预处理出单位根，而不是直接乘。

    for(int i=0;i<(h>>1);i++)
	ww[i]=cp(cos(2*pi*lx*i/h),sin(2*pi*lx*i/h));

  14. 在FFT时若有\(ik\)之类的项，可以转化为\(\frac{k(k+1)}{2}+\frac{i(i-1)}{2}-\frac{(k-i)(k-i+1)}{2}\)，便于FFT。

  15. 若要求\(\Sigma A_{i,j}×x_{i}×x{j}\)的最值，可以对于每一个x，只看关于它的项，发现是一个二次函数，那么让这个x等于对称轴即可。这样会得出n条方程，高消即可。相当于求偏导。

  16. 求不相交的路径数目，可以使用LGV引理。注意需要满足把终点交换后路径一定相交。看到类似逆序对奇偶性的问题也可以考虑行列式。

四、博弈

  1. 只要两个子游戏没有关联了，就可以用sg异或了。
  2. 翻硬币游戏，只要选的硬币是反转的硬币中编号最大的即可。计算时可以把直接翻转理解为添加。
  3. 阶梯nim：每次取走若干个放到上一堆中。只要记录奇数位置的异或即可。这个游戏也可以放到树上进行，方法相同。

五、树上问题

  1. 在一棵树上统计子树信息，如果子树信息不能快速合并，可以采用dsu on tree算法（luogu 雨天的尾巴，回文路径计数）。

  2. 树链合并（深度和减去相邻lca深度），暴力树链合并，access是均摊的。

  3. 基环树方法：将环提出，变为森林，对每棵树计算，然后合并。

  4. 树统计（效率）：线段树合并>启发式合并=dsu on tree

  5. m个节点的所有lca在O(m)级别，可以用虚树。

  6. 给定树上若干的点，求最小生成树大小，可以按照dfs序排序后，用总深度减去相邻的lca的深度，再减去所有的lca的深度。

  7. 建虚树的步骤

    int build(vector<int> &sz)
{
	//1. 将点按照dfs序为关键字排序（此处已省略）。
	for(int i=0;i<cs;i++)
		ve[cl[i]].clear();
	cl[0]=st[0]=sz[0];cs=tp=1;//2. 清空数组，将第1个点压到栈中。
	for(int i=1;i<sz.size();i++)
	{
		int u=sz[i],lc=getlca(u,st[tp-1]);//3. 枚举到下一个点u，计算u与栈顶点的最近公共祖先lca
		while(tp>=2&&de[lc]<=de[st[tp-2]])//4. 假设栈中栈顶下方的点为w（若栈中只有1个点就直跳过这一步），若w点的深度大于等于lca就把v向w连一条边，并且弹掉v，重复此步，否则就到下一步。
		{
			ve[st[tp-2]].push_back(st[tp-1]);
			tp-=1;lc=getlca(u,st[tp-1]);
		}
		if(lc!=st[tp-1])//5. 若lca不是当前的栈顶点，那么就把lca和栈顶点连边
		{
			ve[lc].push_back(st[tp-1]);
			st[tp-1]=cl[cs++]=lc;//并把栈顶变为lca
		}
		st[tp++]=cl[cs++]=u;//6. 最后把u压入栈中
	}
	for(int i=0;i+1<tp;i++)//7. 把栈顶v与栈顶下方的点为w连边，并且把v弹掉，这么做直到栈里只有一个点
		ve[st[i]].push_back(st[i+1]);
	return st[0];//这个点就是虚树的根了
	//为了方便，有时把1也加进去。
}

  8. 长链剖分优化dp时，对于轻儿子直接爆算，重儿子继承后将指针移位，进行+1或-1的调整。比如：

    int& F(int u,int i)
{
	if(i>=dep[u])
		return z0;
	return f[lf[u]+i];
}
if(son[u]!=-1)
{
	dfs2(son[u],u);
	lg[u]=lg[son[u]]+1;//指针移动
	lf[u]=lf[son[u]]-1;//指针移动
}
F(u,0)=1;
if(son[u]==-1)return;
for(int i=fr[u];i!=-1;i=ne[i])
{
	if(v[i]==fu||v[i]==son[u])
		continue;
//进行转移
}

  9. 若要求一段路径上的颜色数，可以考虑每种颜色的贡献：若删除所有这种颜色后，起点和终点不在一个连通块中，则有贡献。

  10. 树的重心，也是树上到其他点距离之和最小的点，满足其子树大小的最大值最小（不超过一半）。如果有两个重心，则这两个重心连着，且最大子树正好为一半。

  11. 距离树上某一个点的最远点一定是（任意）直径的一个端点。

  12. 合并两棵树的直径时，新树的直径端点一定是这两棵树的直径端点（共四个）中的两个。可以分6种情况讨论。

  13. 树上“一定距离以内的”DP方法。

  14. 换根DP：先进行一次DFS，第二次DFS时维护父树的信息。需要考虑如何快速计算一棵子树挖去它的一个儿子后的DP值。

  15. 求树上两条路径的交：两条路径(a,b)与(c,d)，四个点两两求LCA，得到\(x1=lca(a,c),x2=lca(a,d),x3=lca(b,c),x4=lca(b,d)\)。再从这四个点中取出深度最大的两个点p1,p2
    若p1≠p2，则交为p1到p2；若p1=p2，且p1的深度小于 ca(a,b)或小于lca(c,d)的深度，则无交点，否则只有一个交点p1。

  16. 要求出树上所有路径/连通块的信息，可以使用点分治，这样，每个路径/连通块都会考虑到，且只需\(O(nlogn)\)。

  17. \(m\)条路径一定可以覆盖有\(2m\)个叶子的树。

  18. 如果要对最小生成树进行合并，但合并涉及的节点不多，可以每次以合并可能涉及到的点为关键点建立虚树，边权为链上的最大值，换句话说就是求出首次使关键点联通的边，把他们放到一起求MST。（SDOI2019世界地图）

  19. 边权值数目较少但数量很多的MST，可以每次加入权值相等的一组边，考虑快速求出联通块个数的变化即可。

  20. 对于LCT，如果要支持加/删点，维护联通块操作，可以把每个点的父亲也加进去。从而保证复杂度。计算答案时，每个联通块删去最上面的那个点即可。

  21. LCT维护子树：就是每个点维护下虚边信息，再维护下splay子树中的虚边信息之和。pushup时修改后者，access和link时修改前者。

  22. LCT可以维护带修改的树剖（比如动态DP，zjoi历史），在access时修改即可。但一定要注意细节。

  23. 对于树上询问涉及的点比较少的问题，可以建立虚树。对于虚树的一条边在原树上对应的链的答案，可以使用倍增等算法求出。

  24. 一个点到一条路径距离的问题，可以树链剖分，每个节点轻儿子的size之和不会超过nlogn。暴力维护这些点。这样一条重链的答案可以查询它们所有节点的轻儿子，最下面的节点就是单点询问，用线段树维护区间信息即可。但注意空间复杂度为\(O(n\log^2n)\)。

六、图论

  1. 最小生成树更新：只需判断环的最值即可

  2. 图上的所有MST，满足：

    1、对于任意权值的边，所有最小生成树中这个权值的边的数量是一定的（根据克鲁斯卡尔算法即可得出）
    2、对于任意正确加边方案，加完小于某权值的所有边后图的连通性是一样的
    3、对于相同权值的边，任意顺序都是可以的。

  3. 边权只有0,1的图的最短路可以用bfs求解。

  4. 在涉及到连通性，以及最长路等问题要考虑缩点（受欢迎的牛）。

  5. 欧拉回路构造：出栈时输出+“当前弧优化”

  6. 三元环枚举：按度数将边定向，大->小，之后暴力枚举即可。

  7. 2-SAT：若a能推出b，连a->b，连!b->!a。

    之后，找scc，若一个变量的两种取值位于同一scc，则无解。
    若要构造解，则取两种取值中scc编号较小的。

  8. 奇环的判断使用黑白染色。

  9. 给一个图，删边，问连通性，可以把非树边随机一个权值，树边的权值为覆盖它的非树边的权值的异或和。查询时求出是否有异或和为0的子集即可。

  10. 点权图的最短路，每个点只会被更新一次，这个性质可以用于某些优化。比如。

  11. 点权都为正数的最小(非零)权闭合子图，可以tarjan，然后考虑出度为0的SCC。

  12. 边权不超过w的带权图，可以拆边变成不带权的图，方法是把每个点拆成长度为w的链，从链上向其他点连边。总共点数为\(O(nw)\)。（NOI2020D1T1）

  13. 图中不存在负环，可以等价转化为能构造满足最短路性质的点权。有时在dp中可以使用。（AT5147 [AGC036D] Negative Cycle）

  14. 维护区间联通性可以使用点减边的方法。加入新边时先全都-1，然后把它的端点作为首次出现对应的区间+1。那么对于树来说，最小值等于1的位置就是连通的。

七、网络流

  1. 平面图的最小割就是对偶图的最短路（每个面看做一个点，相邻的面看做边）（luogu P2046海拔，luogu 狼抓兔子）。

  2. 网络流的最小割模型：

    1. “文理分科”
    2. “选择+2个具有贡献”

  3. 在题目涉及到所有点对的最大流/最小割时，可以通过最小割树，将其转化为树链上的最小值。

  4. 对于二分图完美匹配的判定，可以考虑Hall定理。

  5. 问题：有n个点，选择每个点有代价，m条关系（x,y,z）表示同时选择x，y有z的收益。使收益-代价最小。

    可以使用最小割求解。
    首先，假设可以得到所有收益，不付出代价。并用最小割割掉不合法的。
    S向每个点连边，边权为代价。每个点向T连边，边权为包括它的收益和的一半。
    对于每条关系，\(x\)到\(y\)连边权为\(\frac{z}{2}\)的双向边。
    可以把边权先扩大到2倍。

  6. 费用流处理负圈的方法

  7. 最小割的数学定义，令\(x\)为一个01变量，我们假设若\(x\)最后在\(S\)集合，则\(x=0\)，否则\(x=1\)
    则边\((S,x,a)\)对答案的贡献为\(ax\)
    则边\((x,T,a)\)对答案的贡献为\(a(1-x)\)
    则边\((x,y,a)\)对答案的贡献为\(a(1-x)y\)
    同理,如果我们能把贡献写为以上的形式,则可以用最小割求最优解
    比如：有若干个01变量，每个变量取0/1有代价，还有若干关系（x,y,z）表示如果x取1，y取0，有z的代价。要求总代价最小。可以使用最小割。

  8. 有些网络流问题，可以先建出一个比较简单的图，然后把点，边合并。（猪圈）

  9. 费用随流量增长速度单调，可以将流量差分，把这条边拆开，每条边的流量为差分后的流量。

  10. 序列的区间覆盖，树上的祖孙链覆盖，可以考虑网络流。建模方法类似k可重区间集。

  11. 费用流如果要求某条边必须流满，可以把这条边的费用设为无穷大，之后减去即可。

  12. 网络流dinic的复杂度可以是\(O(W\sqrt{W})\)的，其中W为边权和。

  13. 费用流可以消去负环，见此处。

八、数据结构

  1. 有时，权值线段树可以代替treap，能减小常数和代码量（luogu 郁闷的出纳员）。

  2. 有时，线段树可以代替splay，方法时记录每个位置是否有元素，查询第k个值时线段树上二分（NOIP2017 列队）。

  3. 处理区间内出现过的数时，可以求出每个数的后继，然后就变成了区间内大于某数的数（luogu HH的项链）。如果在树上可以使用这种方法

  4. 某种在线-->离线：建立线段树/树状数组，当某个区间都被加入时，离线处理，要求询问区间分裂后能合并结果（其实这个叫做二进制分组）。

  5. 很多树形数据结构都可以打标记（线段树，splay，左偏树）。

  6. 通常的树持久化方法：每次新建一个根。避免持久化的技巧：版本树（离线）。

  7. 在处理覆盖问题时，可以用并查集维护每个点向后第一个未被覆盖的位置（包括自身），比线段树快，树上覆盖也可以。

  8. 笛卡尔树：将RMQ变为lca，可以动态维护单调栈，解决RMQ之和等问题。

  9. 计算最大矩形时，除了单调栈，还可以递归，就是每次找到最小值，并递归它两边的区域。

  10. 处理异或的问题有一种常用技巧：就是把每个二进制位拆开单独处理，这样只有不同的才会有贡献。可以将异或问题转换为了是否为不同的数。

  11. 有时，我们的可持久化并查集只需要查询历史版本，不需要在历史版本上修改（例如添加边后，询问之前的连通性）。

    这时，我们有一个log的做法。
    维护一个只按秩合并，不路径压缩的并查集。
    对于每条边，记录它出现的时间，判断连通性找根时，如果它到它的父节点的边出现了，就找父节点的根，否则它就是根。
    这样，不路径压缩，边的状态只有两种，存在/不存在，若存在就是唯一的。

  12. 线段树合并，通常用在树上。常常用于树形DP转移时对于某一位取\(\min\)或\(\max\)的优化。
    需要满足的条件：在合并时，对于一棵空树，可以直接return或在另一棵树上打标记。

  13. 看到RMQ之和的问题，可以考虑单调栈，或者每次找RMQ并分治两边。

  14. 只进行加的高精，有时可以使用线段树维护：加法时，在线段树上二分进行进位。比较时，使用哈希找lcp进行比较（要注意从高位到低位）。并且，可以可持久化。

  15. 二维线段树通常使用动态开点，x树的每个节点都保存它的y树的根。

  16. 主席树，二维线段树等数据结构如果要区间修改，通常使用标记永久化（要求标记之间没有顺序要求）。

  17. trie字典树支持删除，只要额外维护子树大小即可。

  18. 标记永久化可以解决一些其它问题，比如：有一棵树，单点修改，查询一个点到根的路径上与x异或的最大值。这个可以做到\(O(nlog^2n)\)时间，\(O(nlogn)\)空间。

  19. 启发式合并，启发式分裂，有时可以做到log。

  20. 序列中最大的按位与，只需要取前\(\log x+2\)个数，两两暴力判断即可。扩展一下，取\(m\)个数的最大and，只需要考虑前\(m\log{V}\)大的数即可。

  21. 主席树可以卡空间：如果每次版本之间有多次修改（比如树剖），可以用全局变量记录哪个点之后都是目前新建的点。这样遇到这类点就不用再次新建节点了。可以省大量空间。

  22. 主元素：维护一个当前值，以及次数，每次读入一个数，若相同次数加一，否则减一。若次数小于0就把维护的数变为这个数。
    这个方法可以拓展，即维护多个出现次数最多的数。也可以放到线段树上。

  23. 动态维护标号（即支持插入删除并维护相对排名，要求O(1)查询）可以使用替罪羊树：每个节点维护一个区间\([L,R]\)，那么这个节点的标号为\(M=\frac{L+R}{2}\)，左子节点区间为\([L,M]\)，右子节点区间为\([M,R]\)。不平衡时重构在保证复杂度的同时，也能保证深度不会太大，从而避免精度问题。

  24. 一切涉及到区间答案，区间转移，区间连边等问题都可以考虑线段树。

  25. 如果涉及到求一段前缀的答案并且不方便快速合并，可以求出\(\sqrt{n}\)个前缀的答案，每次再暴力加入剩下的的\(\sqrt{n}\)个点即可。

九、几何

  1. 平面分治，可以用于平面上的最近距离等问题（最近点对，最小周长三角形）。只要先把x排序，分治时把y排序，用双指针扫描即可。

  2. 叉积好像是满足分配率的。可以拆开预处理。例题

  3. 叉积实现极角排序：

    int xix(SVe a)
{
      if(a.y<0||(a.y==0&&a.x<0))
            return 0;
      return 1;
}
int cmpj(SVe a,SVe b)
{
    int xa=xix(a),xb=xix(b);
    if(xa!=xb)return xa-xb;
    return cross(a,b);
}

  4. 一堆线段求x坐标最小的交点，可以按照x坐标扫描线。用\(set\)维护线段对应一坐标的大小关系，最近的交点一定是\(set\)中相邻的两条。

十、其它

算法设计

  1. 生成匹配的括号序列，只需模拟一个栈，记录栈中的括号数即可（CF1015F，CF508E）。

  2. 求第k小值（k不大），可以采用A*算法，要保证每种状态都能被扩展出，且扩展出的状态非递减（luogu 超级钢琴，K短路，OVOO）。

  3. 离线处理以及强制在线：

    1. 离线处理可以把询问排序，并按照顺序求解。强制在线可以全部处理后可持久化（NOI2018 归程）。
    2. 离线处理可以倒推。
    3. 离线处理可以得出每种操作的时间序（loj121 动态图的连通性）。

  4. 当处理一个要求整体满足的问题时，可以只考虑局部，当所有的局部都满足时，整体就满足了（luogu 双栈排序，NOI2018 冒泡排序）。

  5. 第k小问题的计数可以用容斥 (秘密袭击)，就是说：

    x成为第k小需要满足两个条件：\(<x\)的数目小于k，\(\leq x\)的数目大于等于k。
    可以用满足1的减去满足1且不满足2的。
    显然，不满足2，就一定满足1。
    因此，用“\(<x\)的数目小于k”减去“\(\leq x\)的数目小于k”即可。

  6. meet-in-the-middle 算法

    应用：BSGS优化，分别以1，平方根为步长，进行预处理，这样，任意一个数都能用处理好的两个数之和来表示。

  7. 易忘的:

    线段树合并
    分块，分类
    差分约束
    预处理
    线段树分治，线段树建图，线段树扫描线
    2-SAT
    bitset优化

  8. 看到方差可以考虑推式子，转化为平方和-平均数×总和。

  9. 排列的三维偏序数，可以容斥。答案为\(\frac{F(a,b)+F(a,c)+F(b,c)-\frac{n*(n-1)}{2}}{2}\)。F为二位偏序。

  10. 判断两种状态能否到达时，若状态的转移有单方向性，可以求出两个状态按照方向转以后到达的最终状态，判断是否相等。（其实就是状态的转移是树形的）。

  11. 正难则反，可以把问题反过来（比如：让求字符串中是否有不相等的距离为k的两个位置，由于字符串算法大多是求匹配的，所以可以反过来，看是否都相等）。

  12. 坐标转化：曼哈顿距离是∆ x与∆ y之和，切比雪夫距离是∆ x与∆ y的最大值。

  13. 考虑一个问题时，可以考虑特殊情况的解法（比如树上问题，可以先考虑链，菊花的情况；基环树，可以先考虑树上的情况）。

  14. 如果网络流的建图比较简单，可以考虑模拟网络流优化（数据结构实现增广），或堆模拟反悔操作

  15. 分类考虑:一部分满足种类数小（预处理）,一部分计算快,可以分类求（通常平方根为界，但实际上有偏差）。

  16. 如果题目中要求最后一个，即max，可以使用min-max容斥变为求max，即第一个。

  17. 树形结构上可以打各种各样的标记。( [BJOI2016]IP地址 )。

  18. 若对于题目，可以把答案转化为每个点的出(或入)边仅有一条，就可以变为基环树。例：给每条边定向，使得所有边的入点不重复。

  19. 巧妙使用DFS，可以优化算法。例如在有向图中，判断一条边(a,b)能否从a不经过这条边到达b，可以枚举a，然后把a的出边顺序，逆序分别dfs一次，并记录每个点第一次被dfs时走的是哪条出边，若b点满足有一次dfs中b的标记不是这条边，那么存在。

  20. 看到把集合分为两组的问题，可以考虑最小割（S，T集合），也可以考虑2-SAT。

  21. 时光倒流是较为常用的一种技巧。可以把删除变为添加。

  22. 绝对值小于某数这样的式子可以把绝对值拆开变成两个式子。CTSC2017 网络

  23. 欧拉定理：\(F+V-E=C+1\)。在算联通块个数的问题上可以只算出点，边，面三个即可。

算法优化

  1. 传有数组的结构体要尽量用引用。

  2. 模数要用define或const！！！！会快些

  3. 在枚举子集时，若要遍历其中的元素，可以采用如下方法，会快些：

    for(int i=0,j=1;i<n;i++,j=(j<<1))
    lg[j]=i;
//……
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
{
    for(int t=i;t>0;t^=t&(-t))
    {
        int k=lg[t&(-t)];
        //……
    }
}

  4. FWT的一个小技巧：此处

  5. Hash挂链通常比map快，快很多，但要注意hash的方法。

  6. 在使用枚举+二分时，可以把枚举的顺序打乱，并在二分前先判断当前的最优解是否可行，这样可以把二分的次数降到期望\(O(logn)\)。

  7. 在优化算法时，可以考虑把若干次相似的操作合并成一次进行。

  8. 在图中路径计数使用矩阵快速幂时，如果这个图时DAG，可以按照拓扑序之进行三角的枚举，从而把常数变为\(\frac{1}{6}\)。

  9. 若矩阵快速幂复杂度太高，可以考虑使用BM求出前几项递推式，进行快速递推。

  10. 带修改的二维偏序的枚举，可以做到\(O(nlogn)\)，方法是按照第一维建立线段树，维护第二维的最值。在枚举时dfs线段树，根据这个最值判断。例题

  11. 若\(n*m=x\)，则\(\min(n,m) \leq \sqrt{x}\)，有时可以利用这个性质优化算法。

  12. sort通常比qsort快。尤其是在对较小数组多次排序时。

  13. 取模优化有时候是有用的。可以用这个：

    x+=(x>>31)&md;//x为负数则加上md

三、一些公式

组合数

二项式反演

min/max容斥扩展

单位根反演

posted @ 2019-11-10 13:51  lnzwz  阅读(1226)  评论(0)  编辑  收藏  举报