树形背包总结
概念
树形背包，就是说，在树上选一个包含根的连通块，或背包存在依赖关系（选父才能选子），或者需要知道每个点的子树中选了多少……
通常，我们有两种方法：
一、基于dfs合并：
我们设\(dp(i,j)\)表示在i的子节点中选j个的状态。
在转移时，先dfs子节点，然后依次把子节点合并，每次合并2个。
即枚举\(a,b\)，用\(dp(i,a)\)和\(dp(son,b)\)组合为\(f(a+b)\)，每次合并后，把f赋给dp。
下面分析时间复杂度：
1、物品大小为1，没有限制：
（伪）代码：
void Tree_Dp(int p)
{
size[p]=1;
each(x,son[p])
{
Tree_Dp(x);
for(int i=0;i<=size[p];++i)
for(int j=0;j<=size[x];++j)
update dp[p][i+j];
size[p]+=size[x];
}
}
时间复杂度为\(O(n^2)\)。
考虑那个二重循环，可以看做分别枚举两棵子树的每个点。可以发现，点对\((u,v)\)，只会在\(Tree_Dp(lca(u,v))\)处被考虑到，所以复杂度是\(O(n^2)\)。
2、有物品大小：
这个复杂度可以卡到\(O(wn^2)\)，w是物品大小。
代码：
void dfs(int x)
{
sum[x]=c[x];
dp[x][c[x]]=v[x];
if(!he[x])
return;
for(int i=he[x];i！=0;i=e[i].ne)
{
int t=e[i].to;
dfs(t);sum[x]+=sum[t];
for(int s1=min(sum[x],lim);s1>=c[x];s1--)//注意倒序
{
for(int s2=min(sum[t],min(s1-c[x],lim));s2>=c[t];s2--)//注意倒序
dp[x][s1]=max(dp[x][s1],dp[x][s1-s2]+dp[t][s2]);
}
}
}
3、物品大小为1，有k的限制。
（伪）代码：
void dfs(int u, int fu) {
int si = 0;
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] != fu)
dfs(v[i], u);
}
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] == fu) continue;
int rt = sz[v[i]];
for (int a = 0; a <= min(si, k); a++) {
for (int b = 0; b <= min(rt, k - a); b++) {
//转移dp
}
}
si += rt;
sz[u] = si + 1;
}
这个算法，最初觉得是\(O(nk^2)\)的，实际上是\(O(nk)\)的。
复杂度证明：
- 根据正常树形背包的复杂度\(O(n^2)\)，小于等于k的最多产生\(n/k*k^2\)的复杂度。
- 大于k与大于k的合并一次，被合并的就增加k，最多n/k次，最多产生\(n/k*k^2\)的复杂度。
- 大于k的与小于等于k的合并时，每个小于等于k的最多被合并一次，所以是\(n*s_1+n*s_2+...+n*s_m\)，也是\(nk\)。
还有一种理解：
把树按照dfs序变为序列。
然后，在子树中枚举取x个，可以理解为取dfs序的前（后）x个。
而合并时，认为一棵子树取后x个，另一棵取前y个。\((x+y\leq k)\)。这可以合并为长x+y的区间。
这其实就是长度不大于k的子串，最多有nk个。
但是，因为有取0个的情况，所以实际做题时，大约有2的常数。但那个常数就忽略了可以。
二、dfs序上dp：
按照dfs序考虑：
我们设\(dp(i,j)\)表示考虑到第i个，剩余容量为j的状态：
有两种转移：
1、不选i，那么i的子树都不能选，转移到\(dp(i+Size_i,j)\)。
2、选i，那么按照dfs序考虑下一个，转移到\(dp(i+1,j-w)+v\)。
正确性显然。
但是，有些树上的信息无法知道。
代码
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=0;j<=n;j++)
{
if(j>=cost[i].v)
dp[i][j]=max(dp[f[i]][j],dp[i-1][j-cost[i].v]+cost[i].w);
else
dp[i][j]=dp[i-size(i)][j];
}
}
printf("%d\n",dp[m][n]);
时间复杂度分析
这个比较显然，n个点，m的容量限制（没有则m=n），状态有\(nm\)个，转移代价为\(O(1)\)，复杂度为\(O(nm)\)。
而且，这种方法更好写，且常数更小。
在物品有多个等特殊问题时，也方便优化。
例题1
题目描述
妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 N 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件不附件，附件是从属于某个件的，下表就是一些主件不附件的例子：
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的件。每个主件可以有很多个附件。附件可能有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1−5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是在10 元以内）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格不重要度的乘积的总和最大。 设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j1,j2,…,jk，则所求的总和为： v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk] 请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N，m （其中 N(<8000) 表示总钱数， m(<8000) 为希望购买物品的个数。） 从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j−1的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数:v，p，q（其中 v 表示该物品的价格（v<10），p表示该物品的重要度（1−5），q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属件的编号（q< j-1））
输出格式
一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值。
这个，是显然的树型背包。
如果用方法1，则由于物品大小的影响，可以卡到\(O(nm^2)\)。
但是，方法二就是\(O(nm)\)的，很快，还好写。
（差距很大）。
例题2
- P4516 [JSOI2018]潜入行动
题解
这题，由于我要知道父子关系的信息（例如：父节点是否选择等），所以方法二便不能使用。
使用方法一，复杂度为\(O(nk)\)。
例题3
- P3780 [SDOI2017]苹果树
题解
这题有些像例1，只不过物品有多个，转成dfs序后，单调队列优化即可，复杂度\(O(nk)\)。
如果方法1至少要\(O(nk^2)\)。
此时，dfs序还可以知道某条链两侧的状态。
例题4
- P6668 [清华集训2016] 连通子树
由于每次询问涉及到的点不多，可以把这些点拿出来建立虚树。
通过倍增，可以求出每条边的选择方案数。
由于平方算法太慢，同时还可以不包含根节点，因此在虚树上进行点分治+DFS序列上DP。
注意在\(na=nb=nc=0\)时要特殊考虑，即维护一条链上选择一段区间的方案数，可以维护前后缀乘积的和。
细节很多，代码量极大（400行+）。
总结下
方法一：
可以知道每个点的确切情况（比如子树中选了多少，也能记录父亲的信息）。可以与普通的树型dp结合使用（因为毕竟是在树上）。
也能直接处理任意连通块的情况。
但是，复杂度相对较高（因为合并背包很慢）。如果是计数可以考虑FFT。
方法二：
复杂度较低（因为不需要合并背包，相当于依次添加）。
但是，不能知道每个点的确切情况（因为是在序列上），有些题不能使用。
如果是连通块的DP，只能算出包含根的连通块。如果要求所有连通块的信息，需要使用点分治，复杂度多一个log。
