动态 DP 总结
注：部分参考 https://www.luogu.org/blog/gkxx-is-here/what-the-hell-is-ddp
动态DP，就是一个十分简单的DP加了一个修改操作。
先看些例题：
例题1：模拟赛题
【问题描述】
某高校教学楼有 n 层,每一层有 2 个门,每层的两个门和下一层之间的两个门之间各有一条路(共 4 条),相同层的 2 个门之间没有路。现给出如下两个操作:
0 x y : 查询第 x 层到第 y 层的路径数量。
1 x y z : 改变第 x 层 的 y 门 到第 x+1 层的 z 门的通断情况。
【输入】
输入文件名为(road.in)。
第一行:两个正整数 n m,表示共 n 层,m 个操作(2≤n≤50000,1≤m≤50000)接下来 m 行，
当第一个数为 0 的时候 后面有两个数 a,b (1≤a<b≤n)表示询问第 a 层到第 b 层的路径数量。
第一个数为 1 的时候,后面有三个数 x, y, z (1≤x<n,1≤y,z≤2)表示改变第 x 层 的 y 门 到第 x+1 层的 z 门的通断情况。
【输出】
输出文件名为(road.out)。
输出每一个询问值。答案对 10^9+7 取模
这是最简单的动态DP。
首先，发现有修改和询问，而询问又是区间查询，自然想到线段树维护。
直接的DP，肯定难以维护。考虑将\(dp_i到dp_{i+1}\)的变换转化为一个简单的操作。
这是个计数问题，只有求和，显然可以变为矩阵乘法。就是\(dp_{i+1}\)等于\(dp_i\)乘一个矩阵。
这样，通过矩乘优化，这个dp转化为了一段矩阵的乘积。
于是，问题变为：有一些矩阵，支持修改一个矩阵，和查询区间矩阵乘积。
线段树很容易维护。
代码：
#include <stdio.h>
#define ll long long
ll md=1000000007;
struct SJz
{
ll jz[2][2];
SJz operator*(SJz sz);
void operator=(SJz sz)
{
jz[0][0]=sz.jz[0][0];
jz[0][1]=sz.jz[0][1];
jz[1][0]=sz.jz[1][0];
jz[1][1]=sz.jz[1][1];
}
};
SJz rtt,dw;
SJz SJz::operator*(SJz sz)
{
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
rtt.jz[i][j]=0;
for(int k=0;k<2;k++)
rtt.jz[i][j]=(rtt.jz[i][j]+jz[i][k]*sz.jz[k][j])%md;
}
}
return rtt;
}
SJz zh[200010];
void pushup(int i)
{
zh[i]=zh[i<<1]*zh[(i<<1)|1];
}
void jianshu(int i,int l,int r)
{
if(l+1==r)
{
zh[i].jz[0][0]=zh[i].jz[0][1]=zh[i].jz[1][0]=zh[i].jz[1][1]=1;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
jianshu(i<<1,l,m);
jianshu((i<<1)|1,m,r);
pushup(i);
}
void xiugai(int i,int l,int r,int j,int x,int y)
{
if(l+1==r)
{
zh[i].jz[x][y]^=1;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if(j<m)
xiugai(i<<1,l,m,j,x,y);
else
xiugai((i<<1)|1,m,r,j,x,y);
pushup(i);
}
SJz chaxun(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R)
return zh[i];
if(r<=L||R<=l)
return dw;
SJz t1,t2;
int m=(l+r)>>1;
t1=chaxun(i<<1,l,m,L,R);
t2=chaxun((i<<1)|1,m,r,L,R);
return t1*t2;
}
int main()
{
freopen("road.in","r",stdin);
freopen("road.out","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
jianshu(1,1,n+1);
dw.jz[0][0]=dw.jz[1][1]=1;
dw.jz[0][1]=dw.jz[1][0]=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
int lx;
scanf("%d",&lx);
if(lx==1)
{
int a,x,y;
scanf("%d%d%d",&a,&x,&y);
xiugai(1,1,n+1,a,x-1,y-1);
}
else
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
SJz jg=chaxun(1,1,n+1,x,y);
printf("%I64d\n",(jg.jz[0][0]+jg.jz[0][1]+jg.jz[1][0]+jg.jz[1][1])%md);
}
}
return 0;
}
非常好理解的。
然而，这是计数dp，只有加和乘，容易矩乘，但是通常的dp还是有\(min，max\)操作的。
例题2
和上题一样，考虑将转移表示为矩乘，然后线段树维护。
但是，矩乘没有\(min，max\)操作。
我们重新定义新的矩乘，** 使其满足结合律，以方便线段树维护 **。
这样，用类似上一题的方法维护即可。
没有代码。
例题3：带修改树上最大独立集。
这个树形DP转移很简单：
但是，这题是树，有多个儿子，不方便矩乘。
通常，若序列上用线段树，那么树上就是树剖套线段树。
但是，转移时针对所有儿子而言的，而树剖只有一个重儿子。
所以，我们只能额外维护一个信息g，表示一个节点只算上它和它的的轻儿子的dp值，然后再用这个g和它的重儿子的dp值算出它的dp值。
将这个\(dp_v\)到\(dp_u\)的过程写成矩阵乘法，矩阵中包含g。
这样，某个点的dp值就是重链上矩阵的乘积，用线段树维护。
考虑修改：dp是通过g计算的，所以维护g即可。而修改一个点后，只有轻边上的g值会被修改，沿着重链跳到根即可。
时间复杂度\(O(2^3*qlog^2n)\)，能过\(10^5\)。
代码：
（常数巨大）
#include <stdio.h>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
int inf=2100000000;
struct SJz
{
int jz[2][2];
SJz(){}
SJz(int a,int b,int c,int d)
{
jz[0][0]=a;jz[0][1]=b;
jz[1][0]=c;jz[1][1]=d;
}
void operator=(SJz x)
{
jz[0][0]=x.jz[0][0];
jz[0][1]=x.jz[0][1];
jz[1][0]=x.jz[1][0];
jz[1][1]=x.jz[1][1];
}
};
SJz operator*(SJz x,SJz y)
{
SJz rt;
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
rt.jz[i][j]=-inf;
}
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
for(int k=0;k<2;k++)
{
if(x.jz[i][j]!=-inf&&y.jz[j][k]!=-inf)
rt.jz[i][k]=max(x.jz[i][j]+y.jz[j][k],rt.jz[i][k]);
}
}
}
return rt;
}
int fr[100010],ne[200010],v[200010],bs=0;
void addb(int a,int b)
{
v[bs]=b;
ne[bs]=fr[a];
fr[a]=bs++;
}
int fa[100010],son[100010],top[100010],dn[100010];
int xl[100010],sz[100010],wz[100010],tm=0;
int g0[100010],g1[100010],f0[100010],f1[100010];
int dfs1(int u,int f)
{
fa[u]=f;son[u]=-1;
int ma=0,he=1;
for(int i=fr[u];i!=-1;i=ne[i])
{
if(v[i]==f)
continue;
int rt=dfs1(v[i],u);
he+=rt;
if(rt>ma)
{
ma=rt;
son[u]=v[i];
}
}
return he;
}
void dfs2(int u,int f,int tp)
{
top[u]=tp;
wz[u]=++tm;xl[wz[u]]=u;
if(son[u]==-1)
{
dn[u]=u;
return;
}
dfs2(son[u],u,tp);
for(int i=fr[u];i!=-1;i=ne[i])
{
if(v[i]!=f&&v[i]!=son[u])
dfs2(v[i],u,v[i]);
}
dn[u]=dn[son[u]];
}
void dfs3(int u,int f)
{
f0[u]=0;f1[u]=sz[u];
g0[u]=0;g1[u]=sz[u];
for(int i=fr[u];i!=-1;i=ne[i])
{
if(v[i]==f)
continue;
dfs3(v[i],u);
int r0=f0[v[i]],r1=f1[v[i]];
if(v[i]!=son[u])
{
g0[u]+=max(r0,r1);
g1[u]+=r0;
}
f0[u]+=max(r0,r1);
f1[u]+=r0;
}
}
SJz ji[400010],I(0,-inf,-inf,0);
void ddz(int i,int l,int r)
{
int u=xl[l];
ji[i]=SJz(g0[u],g1[u],g0[u],-inf);
}
void jianshu(int i,int l,int r)
{
if(l+1==r)
{
ddz(i,l,r);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
jianshu(i<<1,l,m);
jianshu((i<<1)|1,m,r);
ji[i]=ji[(i<<1)|1]*ji[i<<1];
}
void xiugai(int i,int l,int r,int j)
{
if(l+1==r)
{
ddz(i,l,r);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if(j<m)
xiugai(i<<1,l,m,j);
else
xiugai((i<<1)|1,m,r,j);
ji[i]=ji[(i<<1)|1]*ji[i<<1];
}
SJz getsum(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(R<=l||r<=L)
return I;
if(L<=l&&r<=R)
return ji[i];
int m=(l+r)>>1;
return getsum((i<<1)|1,m,r,L,R)*getsum(i<<1,l,m,L,R);
}
void getf(int u,int &f0,int &f1)
{
SJz rt=getsum(1,1,tm+1,wz[u],wz[dn[u]]);
int r0=0,r1=sz[dn[u]];
f0=max(r0+rt.jz[0][0],r1+rt.jz[1][0]);
f1=max(r0+rt.jz[0][1],r1+rt.jz[1][1]);
}
void update(int u,int n0,int n1)
{
if(fa[u]!=0)
{
g0[fa[u]]=g0[fa[u]]-max(f0[u],f1[u])+max(n0,n1);
g1[fa[u]]=g1[fa[u]]-f0[u]+n0;
xiugai(1,1,tm+1,wz[fa[u]]);
}
f0[u]=n0;f1[u]=n1;
}
void xiugai(int x,int y)
{
g1[x]=g1[x]-sz[x]+y;
sz[x]=y;
xiugai(1,1,tm+1,wz[x]);
while(x!=0)
{
x=top[x];
int n0,n1;
getf(x,n0,n1);
update(x,n0,n1);
x=fa[x];
}
}
void build()
{
dfs1(1,0);
dfs2(1,0,1);
dfs3(1,0);
jianshu(1,1,tm+1);
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&sz[i]);
fr[i]=-1;
}
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
addb(a,b);addb(b,a);
}
build();
for(int i=0;i<m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
xiugai(x,y);
printf("%d\n",max(f0[1],f1[1]));
}
return 0;
}
