「NOI2019」弹跳（KD树）
题意：w×h网格中有n个点，m条边。每条边可以从p点花费t时间到一个矩形中的任意点，求1号点到每个点的最少时间。
\(1<=w,h<=n<=70000，1<=m<=150000\)
时间2s，空间128M。
本题如果放在序列上，使用线段树建图，可以做到\(O(mlogn)\)的复杂度，通过数据分治可以获得72分。
对于二维问题可以想到将线段树变为二维线段树，然而会被卡空间。
考虑此题暴力Dij的本质：就是每次找最小的点，然后把一个矩形中大于z的数都改为z，再删除这个点。
看到矩形修改，可以想到KD树。
KD树的空间复杂度是\(O(n)\)的，很优秀。
在矩形修改时，采用类似线段树的方法：如果当前矩形与修改的矩形没有交，就直接返回。如果被包含，则直接打标记。
但与线段树不同的：还需要考虑当前的点是否在矩形内，如果在则直接修改这个点。
这就是KD树处理矩形的方法。
时间复杂度：\(O(m\sqrt{n})\)。
删除一个点可以打一个特殊标记实现。
把这个写上后，会发现超时。
考虑剪枝：如果z大于当前点的标记，就直接返回。
这样就能过了。
代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
struct SPx
{
int x,y,i;
SPx(){}
SPx(int X,int Y,int I)
{
x=X;y=Y;i=I;
}
};
int cmpx(const void*a,const void*b)
{
return ((SPx*)a)->x-((SPx*)b)->x;
}
int cmpy(const void*a,const void*b)
{
return ((SPx*)a)->y-((SPx*)b)->y;
}
int cl[70010],cr[70010],fa[70010],lx[70010],rx[70010],ly[70010],ry[70010];
int zx[70010],wz[70010],qz[70010],ld[70010],inf=2000000000,root;
bool bk[70010];
void update(int x)
{
if(bk[x])
zx[x]=inf,wz[x]=-1;
else
zx[x]=qz[x],wz[x]=x;
if(cl[x]!=0&&wz[cl[x]]!=-1&&zx[cl[x]]<=zx[x])
zx[x]=zx[cl[x]],wz[x]=wz[cl[x]];
if(cr[x]!=0&&wz[cr[x]]!=-1&&zx[cr[x]]<=zx[x])
zx[x]=zx[cr[x]],wz[x]=wz[cr[x]];
}
void pur(int x,int y)
{
if(ld[x]!=-1&&y>=ld[x])
return;
ld[x]=y;
if(qz[x]>y)qz[x]=y;
if(zx[x]>y)zx[x]=y;
}
void pushdown(int x)
{
if(ld[x]==-1)return;
if(cl[x]!=0)pur(cl[x],ld[x]);
if(cr[x]!=0)pur(cr[x],ld[x]);
ld[x]=-1;
}
void clean(int x)
{
if(fa[x]!=0)
clean(fa[x]);
pushdown(x);
}
void del(int x)
{
clean(x);
bk[x]=true;
for(int i=x;i!=0;i=fa[i])
update(i);
}
int buix(SPx sz[70010],int l,int r);
int buiy(SPx sz[70010],int l,int r);
void pushup(int rt)
{
if(cl[rt]!=0)
{
lx[rt]=min(lx[rt],lx[cl[rt]]);rx[rt]=max(rx[rt],rx[cl[rt]]);
ly[rt]=min(ly[rt],ly[cl[rt]]);ry[rt]=max(ry[rt],ry[cl[rt]]);
fa[cl[rt]]=rt;
}
if(cr[rt]!=0)
{
lx[rt]=min(lx[rt],lx[cr[rt]]);rx[rt]=max(rx[rt],rx[cr[rt]]);
ly[rt]=min(ly[rt],ly[cr[rt]]);ry[rt]=max(ry[rt],ry[cr[rt]]);
fa[cr[rt]]=rt;
}
}
bool fugai(int Lx,int Rx,int Ly,int Ry,int lx,int rx,int ly,int ry)
{
return Lx<=lx&&rx<=Rx&&Ly<=ly&&ry<=Ry;
}
bool fenli(int Lx,int Rx,int Ly,int Ry,int lx,int rx,int ly,int ry)
{
return Lx>rx||lx>Rx||Ly>ry||ly>Ry;
}
int X[70010],Y[70010];
int buix(SPx sz[70010],int l,int r)
{
if(l>=r)return 0;
qsort(sz+l,r-l,sizeof(SPx),cmpx);
int m=(l+r-1)>>1,rt=sz[m].i;
lx[rt]=rx[rt]=sz[m].x;
ly[rt]=ry[rt]=sz[m].y;
cl[rt]=buiy(sz,l,m);
cr[rt]=buiy(sz,m+1,r);
pushup(rt);
return rt;
}
int buiy(SPx sz[70010],int l,int r)
{
if(l>=r)return 0;
qsort(sz+l,r-l,sizeof(SPx),cmpy);
int m=(l+r-1)>>1,rt=sz[m].i;
lx[rt]=rx[rt]=sz[m].x;
ly[rt]=ry[rt]=sz[m].y;
cl[rt]=buix(sz,l,m);
cr[rt]=buix(sz,m+1,r);
pushup(rt);
return rt;
}
void songc(int i,int Lx,int Rx,int Ly,int Ry,int z)
{
if(ld[i]!=-1&&z>ld[i])
return;
if(fenli(Lx,Rx,Ly,Ry,lx[i],rx[i],ly[i],ry[i]))
return;
if(fugai(Lx,Rx,Ly,Ry,lx[i],rx[i],ly[i],ry[i]))
{
pur(i,z);
return;
}
pushdown(i);
if(fugai(Lx,Rx,Ly,Ry,X[i],X[i],Y[i],Y[i]))
{
if(qz[i]>z)
qz[i]=z;
update(i);
}
if(cl[i]!=0)
songc(cl[i],Lx,Rx,Ly,Ry,z);
if(cr[i]!=0)
songc(cr[i],Lx,Rx,Ly,Ry,z);
update(i);
}
void dfs(int u)
{
if(cl[u]!=0)
dfs(cl[u]);
if(cr[u]!=0)
dfs(cr[u]);
update(u);
}
int dis[70010];
int fr[70010],ne[150010],x1[150010],x2[150010],y1[150010],y2[150010],w[150010],bs=0;
void addb(int a,int lx,int rx,int ly,int ry,int b)
{
x1[bs]=lx;x2[bs]=rx;
y1[bs]=ly;y2[bs]=ry;
w[bs]=b;
ne[bs]=fr[a];
fr[a]=bs++;
}
SPx sz[70010];
void dij(int u,int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
sz[i]=SPx(X[i],Y[i],i);
root=buix(sz,1,n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
qz[i]=inf;
qz[u]=0;
dfs(root);
while(1)
{
int t=wz[root],x=zx[root];
if(t==-1)break;
del(t);dis[t]=x;
for(int i=fr[t];i!=-1;i=ne[i])
songc(root,x1[i],x2[i],y1[i],y2[i],x+w[i]);
}
}
int main()
{
wz[0]=-1;
int n,m,w,h;
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&w,&h);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
fr[i]=ld[i]=-1;
for(int i=0;i<m;i++)
{
int p,t,l,r,d,u;
scanf("%d%d%d%d%d%d",&p,&t,&l,&r,&d,&u);
addb(p,l,r,d,u,t);
}
dij(1,n);
for(int i=2;i<=n;i++)
printf("%d\n",dis[i]);
return 0;
}
