数学 - 随笔分类 - lnzwz

摘要：循环矩阵，就是循环的矩阵。循环矩阵有一些性质：两个循环矩阵，相乘后，仍是循环矩阵。这样，在进行矩阵乘法时，只维护第一行即可。复杂度暴力

O (n^{2})

$O(n^2)$ 。其实是循环卷积，可以用NTT优化至

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 。循环矩阵的行列式也可以快速计算。对于

n * n

$n*n$ 的矩阵，设

w^{k}

$w^k$ 为

n

$n$ 次阅读全文

posted @ 2020-10-06 16:34 lnzwz 阅读(650) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一种类似等比数列求和问题的解法

摘要：有时，会遇到这样的问题：求

\sum_{i = 1}^{n} i^{k} x^{i}

$\sum_{i=1}^n i^kx^i$ 。其中，k很小，n很大，x可以是数，矩阵，或多项式。通常，有两种做法：将x放入矩阵中，并依次把

(a + 1) i

$(a+1)i$ 拆开，把系数放入矩阵（其实就是杨辉三角）。这个方法比较容易，但时间复杂度为

O (k 3 \log n)

$O(k3\log n)$ 。使用阅读全文

posted @ 2020-08-12 22:07 lnzwz 阅读(311) 评论(0) 推荐(1) 编辑

P6730 [WC2020] 猜数游戏

摘要：首先，考虑一个问题：有一张有向图，选择最少的点，使得每个点都能由这些点出发而到达。可以用如下方法：先tarjan缩点，变成DAG。然后在入度为0的SCC中各选一个点。正确性显然。对于这道题，先预处理出所有数之间的关系，方法等下讲。然后暴力就是枚举

2 n - 1

$2n-1$ 种情况，再套用上述做法。正解就是阅读全文

posted @ 2020-08-08 22:25 lnzwz 阅读(197) 评论(0) 推荐(0) 编辑

所有生成树边权和的和的求法

摘要：通常，矩阵树定理算出的生成树是边权乘积的和。如果计算所有生成树边权和的和，比较暴力的方法就是枚举一条边，然后计算包含这条边的生成树个数。这样的时间复杂度是

O (m n 3)

$O(mn3)$ 的，最坏为

O (n 3)

$O(n3)$ 。考虑优化：对于一条边权为w的边，将边权设为关于x的多项式

1 + w x

$1+wx$ 。这样，容易证出，最后的一阅读全文

posted @ 2020-06-24 22:54 lnzwz 阅读(792) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[TJOI2017]龙舟

摘要：题意：求

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ Mod

M

$M$ 的值，a，b是很多个数的乘积。首先，要对

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ 进行约分，但是，因为a，b很大，难以求出他们的gcd。我们发现：只要约分后的b和M互质，就能求出b的逆元，进而求出答案。因此，我们只要考虑M的质因数即可。先用Pollard rho 阅读全文

posted @ 2020-01-21 20:30 lnzwz 阅读(191) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LJJ爱数数（莫比乌斯反演）

摘要：题意：给定

n

$n$ ，求满足

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ ，且

a, b, c

$a,b,c$ 互质的三元组

(a, b, c)

$(a,b,c)$ 数目。

（ a, b, c \leq n ）

$（a,b,c\leq n）$

n \leq 10^{12}

$n\leq10^{12}$ 首先，使用类似 "P5253 丢番图 " 的方法，两边乘以

a b c

$abc$ 。 $ac+bc 阅读全文

posted @ 2020-01-01 12:06 lnzwz 阅读(231) 评论(0) 推荐(0) 编辑

min25筛

摘要：min25筛，可以用来求积性函数前缀和。这个函数要求，

f (p x)

$f(px)$ 能表示为关于

p x

$px$ 的一个多项式。算法分两步： 1.求出对于所有

x=\frac

$x=\frac$ ，x以内所有质数的f和。方法如下：首先，把所有数当成质数代入多项式，求出一个“假的”前缀和。然后，通过埃氏筛法，将非质数除去。每次，当筛质阅读全文

posted @ 2019-12-13 22:48 lnzwz 阅读(187) 评论(0) 推荐(0) 编辑

模拟赛斯特林数计数题解（拉格朗日插值）

摘要：题目大意：求答案对

10^{9} + 7

$10^9 + 7$ 取模。首先，我们发现这个东西出现了很多次。设R= 。 R可以矩阵乘法求。根据斯特林数的原式可化为设所求为

f_{k} (N)

$f_k(N)$ 。对于

R = 1

$R=1$ 的情况,自然数幂求和即可。

O (k + l o g n)

$O(k+logn)$ 。所以，由上述暴力展开的情况可以发现，存在一个关于

N

$N$ 阅读全文

posted @ 2019-10-02 18:57 lnzwz 阅读(324) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SNOI2017]遗失的答案题解

摘要：坑阅读全文

posted @ 2019-09-20 20:01 lnzwz 阅读(259) 评论(0) 推荐(0) 编辑

余子式总结

摘要：行列式：gauss消元求。余子式：去掉一行一列后，剩下的矩阵的行列式组成的矩阵。代数余子式：余子式根据行列的奇偶性取相反数后的矩阵。行列式等于任意一行(列)的各个位置乘以代数余子式之和。代数余子式的转置叫伴随矩阵。伴随矩阵等于逆矩阵乘以行列式。所以，一遍行列式，一遍逆矩阵，就能知道代数余阅读全文

posted @ 2019-08-25 21:48 lnzwz 阅读(3435) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Pollard-Rho 总结

摘要：将一个大数

N

$N$ 分解质因子。试除法，暴力枚举

1 ～ \sqrt{N}

$1～\sqrt{N}$ 的数。时间复杂度：

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$ 。通常，这个复杂度够了，但有时，

N \leq 10^{18}

$N\leq10^{18}$ 。这就需要Pollard Rho了。首先，考虑一种简单情况。设$N=p q（p0) { if(b&1) jg=(jg+a 阅读全文

posted @ 2019-08-19 14:12 lnzwz 阅读(315) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[AH2017/HNOI2017]抛硬币（扩展lucas）

摘要：推式子+exlucas。题意：小 A 和小 B 是一对好朋友，两个人同时抛 b 次硬币，如果小 A 的正面朝上的次数大于小 B 正面朝上的次数，则小 A 获胜。小 A 决定在小 B 没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小 B 怀疑，他不会抛太多次。现在小 A 想问你，在多少种阅读全文

posted @ 2019-08-19 14:05 lnzwz 阅读(223) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HAOI2018]奇怪的背包

摘要："题目链接" 题目大意有一个模P意义下的背包，n个物品，每种有无限个，q个询问，问重量为w的方案。题解：首先，先考虑如何判断一些物品能否组成重w的背包。根据贝祖定理，只要这些数和P的最大公约数是w的约数，就可以。所以，对于本题，就是判断

2^{n}

$2^n$ 中方案中，有多少种方案使得选择的数和P的最大阅读全文

posted @ 2019-08-14 21:01 lnzwz 阅读(150) 评论(0) 推荐(0) 编辑

期望总结

摘要：终于理解了一点期望。定义E(X)：X表示一个随机变量，xi为X的若干种取值，pi表示X取xi的概率。则E(X)=xi×pi之和。性质： E(C)=C （显然，C为常数，仅有一种取值）。 E(X+Y)=E(X)+E(Y) （不要求X和Y独立）。因为不管X，Y是否独立，根据定义，pi1+pi 阅读全文

posted @ 2019-08-02 21:33 lnzwz 阅读(574) 评论(0) 推荐(1) 编辑

FWT 等总结题解

摘要：[toc] FWT可以解决位运算卷积问题。即

h (i) = \sum_{j \oplus k = i} f (j) g (k)

$h(i)=\sum\limits_{j⊕k=i} f(j) g(k)$ ，其中“⊕”表示位运算。与卷积：定义

f

$f$ 到

F

$F$ 的变换：

F (i) = \sum_{j & i == i}^{} f (j)

$F(i)=\sum\limits_{j\&i==i}^{ }f(j)$ 。这样，若$h(i)=\sum\limits_ 阅读全文

posted @ 2019-07-28 08:38 lnzwz 阅读(500) 评论(0) 推荐(0) 编辑

模拟赛路径计数题解

摘要：题意：有k个障碍，求（0,0）到（n，m）不经过这些障碍的方案数。直接DP会超时。可以发现，（0，0）到（n，m）不经过障碍的路径条数为总路径条数经过障碍的路径条数，即C(n+m,n) 经过障碍的路径条数。设dp（i）表示从（0，0）到第i个障碍，不经过其它障碍的路径条数。转移时计算经过障阅读全文

posted @ 2019-07-25 20:32 lnzwz 阅读(179) 评论(0) 推荐(0) 编辑

模拟赛求和题解

摘要：求（d表示约数个数）第一个sigma不能优化，需要优化第二个sigma（指数的那个）。只有完全平方数的约数个数才是奇数，所以指数就相当于i×1,i×2……i×m中完全平方数的个数。完全平方数中质因数分解后，所有指数都为偶数，所以对于每个i通过质因数分解可以得出至少乘多少才能成为一个完全平方数阅读全文

posted @ 2019-07-25 20:25 lnzwz 阅读(182) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性基，高斯消元总结

摘要：１. 线性基：定义：一个集合的线性基是与原集合能异或出的集合完全相同的最小集合。求法：主要应用了如下性质：若ｘ是线性基中的元素，ｙ是待添加的元素，那么ｘ^ｙ也在线性基中。证明：设ｚ＝

ｘ

$ｘ$ ^

ｙ

$ｙ$ ，那么只要用到了ｚ，就相当于用了

ｘ

$ｘ$ ^

ｙ

$ｙ$ ，若要用ｙ，就可以使用

ｚ

$ｚ$ ^

ｘ

$ｘ$ 所阅读全文

posted @ 2019-07-25 19:50 lnzwz 阅读(328) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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