期望

好像没有什么知识点呀 😅

满足可加性 \(E(ax+by)=aE(x)+bE(y)\)

当事件 \(x,y\) 相互独立时满足可乘行 \(E(x\times y)=E(x)\times E(y)\)

典其实下面也有好多典题 😅

P4316 绿豆蛙的归宿

题意：求 \(dag\) 上从 \(S\) 走到 \(T\) 的期望步数

倒推：设 \(f_u\) 表示从 \(u\) 走到 \(T\) 的期望步数，转移是 \(f_u=\sum\limits_{v}^{(u,v) \in E} \frac{(f_v+w)}{deg_u}\) 其中 \(deg\) 是出度

正推：设 \(f_u\) 表示从 \(S\) 走到 \(u\) 的期望步数，转移是 \(f_v=\sum\limits_{u}^{(u,v) \in E} \frac{(f_u+g_u \times w)}{deg_u},g_u=\sum\limits_{u}^{(u,v) \in E} \frac{g_u}{deg_u}\)

倒着推很没意思，但是正着推感觉好怪，但是仔细想想是对的，因为我不一定走 \((u,v)\) 这条边，等于就是 \(E(a+bx)\) 中的 \(x\) ，但是为啥倒推是对的呀 🤔，因为从 \(u\) 出发必定要走一条出边，所以概率和为一，也就是 \(x=\frac{w}{deg}\) 了

正推：code

我不会做部分

CF235B Let's Play Osu!

二次期望

我们现在想求 \(E(x^2)\) 不会，嘿嘿 🤭

假设现在连续 \(O\) 长度为 \(x\) ，我们加上一个 \(O\) 的贡献是 \(E((x+1)^2)-E(x^2)=E(x^2)+E(1)+E(2x)-E(x^2)=E(2x+1)\)

现在我们需要知道 \(E(x)\) ，容易发现 \(E(x)=(E(x-1)+1)\times p_i\)

P1654 OSU!

和上面差不多

P1850 [NOIP2016 提高组] 换教室

设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示我现在上到第 \(i\) 节课，用了 \(j\) 次换教室机会，现在在 \(c_i/d_i\) 的期望步数，直接 \(dp\) 即可

~~代码我已经看不懂了~~

P2473 [SCOI2008] 奖励关

🕊🕊🕊

P6835 [Cnoi2020]线形生物

简单题 💧💧💧

不想写了看题解去吧

P4206 [NOI2005] 聪聪与可可

🕊🕊🕊

CF280C Game on Tree

考虑 \(dp\) ，发现根本不会做🤡

那就把每个点根据期望的线性性拆开

设现在的点是 \(u\) ，\(u\) 有 \(x\) 个祖先，将操作看成序列，发现 \(u\) 会有贡献当且仅当所有祖先都在我后面，所以期望贡献是 \(\frac{1}{dep_u}\) ，这玩意我想了一年 👈🤣

#2544. 「JXOI2018」游戏

🧐🧐🧐

感觉和上面的很像，只用检查所有区间内没有约数的数就可以了

然后这个题还有一个好玩的东西

现在有 \(n\) 个球，求随便选出 \(k\) 个关键球，最后一个点位置的期望

我现在要算最后一个关键球位置等于 \(n-\text{球在所有关键球后面的个数}\)

先不考虑球的标号，假设现在已经选出所有关键球，现在就等于有 \(k+1\) 个抽屉，等概率放球，所以在所有关键球后面的概率是 \(\frac{1}{k+1}\) ，那么在所有关键球后面球的期望是 \(\frac{n-k}{k+1}\) ，那么最后一个关键球位置期望就是 \(n-\frac{n-k}{k+1}=\frac{(n+1)k}{k+1}\)

所以答案乘上 \(n!\) 就对了

P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

有一半的分是 \(k=n\) 😍

首先先想一个贪心看看怎么做

从后往前考虑，如果他的倍数有奇数个要操作那么就为 \(1\) ，否则为 \(0\)

不难发现一定是优的

想到这个 \(100\) 分就很简单了

设 \(f_i\) 表示还需要操作 \(i\) 个灯，这时我想减去一个灯的期望次数，转移方程显然 \(f_i=1+(n-i)\times(f_{i+1}+f_i)\) ，就是如果我这次操作没有成功会多一个灯需要操作，然后从 \(i+1\) 个操作到 \(i-1\) ，然后化简一下柿子就好了

P4284 [SHOI2014] 概率充电器

不会做👈🤣

首先发现期望根本没用，求概率就可以了。

思考一个点怎么着会被充上电，一种是自己直接充上，还有就是从上面充上电或者从下面充上电

发现是一颗树，所以从下面充上电很好做，自己直接冲上也是很简单的，现在就考虑怎么算从上面来的就好了

假设我现在在点 \(u\) 并且已经算好了，我现在要贡献到子节点 \(v\) 这一个操作，现在我对 \(v\) 的贡献是这个点充上电的概率 \(-\) 只从 \(v\) 上来 \(u\) 充上电的概率，然后就推一下柿子

设 \((u,v)\) 出现概率为 \(A\) ，\(v\) 充上电概率为 \(B\)，\(x\) 为不算 \(v\) 的充电概率， \(y\) 为算 \(v\) 的充电概率

有柿子：

\(y=(1-x)AB+x\)

\(y=AB+x-xAB\)

\(y=AB+x(1-AB)\)

\(x=\frac{y-AB}{1-AB}\)

\(y-x=y-\frac{y-AB}{1-AB}\)

乘上点系数就做完了

P3239 [HNOI2015]亚瑟王

我就是亚瑟王！😎😎😎

一开始我设的是 \(f_{i,j}\) 表示考虑在第 \(j\) 轮，我现在考虑到了第 \(i\) 个并且选他的概率，但是不对 😔

正确的是设 \(f_{i,j}\) 表示 \(r\) 轮一块考虑，现在考虑到第 \(i\) 个数，有 \(j\) 轮已经选数的方案数

那么我不选数的概率是 \((1-p_i)^{m-j}\) ，选的就是 \(1-(1-p_i)^{m-j}\)

但是好像不会统计答案，发现我转移时的东西就是选的概率，所以在转移的时候统计就可以了

pjudge 21743 青鱼和怪兽

🐟🐟🐟

设 \(f_{i,j}\) 表示玩家还有 \(i\) 点血量，👾还有 \(j\) 点血量时获胜的期望时间

转移方程：\(f_{i,j}=\min(f_{n,m},1+p\times f_{i,j-1}+(1-p)\times f_{i-1,j})\)

发现这有个取 \(\min\) ，根本不会做，我也不能实数枚举 😔，但是发现每次都是对一个数和 \(f_{n,m}\) 取 \(\min\) ，仔细思考 🤔 发现 \(f_{n,m}\) 是具有单调性的，可以二分 🤩🤩🤩

具体来说，假设现在二分的 \(f_{n,m}\) 是 \(x\) ，如果按 \(x\) 算出来的 \(f_{n,m}\) 比 \(x\) 小说明你 \(x\) 设大了，缩小，否则增大

#6513. 「雅礼集训 2018 Day10」足球大战

⚽⚽⚽

发现这玩意能直接算

主队在 \(n\) 秒内进 \(m\) 个球的概率是 \({n\choose m}\times p^m\times (1-p)^{n-m}\) ，客队换成 \(q\) 就行了

现在想主队赢，那么概率就是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}({n\choose i}\times p^i\times (1-p)^{n-i}\times (\sum\limits_{j=0}^{i-1}{n\choose j}\times q^j\times (1-q)^{n-j}))\)

枚举主队进球数，对客队进球数那个 \(\sum\) 做一个前缀和就好了

注意 \(n\) 是 \(1e7\) 级别的，不能快速幂，要预处理次方

#6495. 「雅礼集训 2018 Day1」树

~~倒悬的splay~~ （有端暗示

有一个经典技巧，发现不会期望，可以将答案按某些性质划分为一些类，然后对于每类计数

设 \(f_{i,j}\) 表示现在树上有 \(i\) 个点，最大深度为 \(j\) 的方案数，考虑现在加入第 \(i+1\) 个点怎么做

然后不会做👈🤣

🤔 一下发现好像就是不能转移，但是发现根节点性质很好，所以考虑加入的是根节点

发现 \(2\) 号节点一定是连向 \(1\) 号节点的，所以按这玩意分类

没有子节点：这就是初始化的值

有子节点：枚举 \(2\) 号节点子树大小以及深度，然后枚举剩下的子树加上根节点组成的树的节点数和深度，拼一块就好了

注意转移顺序

~~所以这玩意是 \(O(n^4)\) 的~~

CF1187F Expected Square Beauty

推柿子

首先求一下 \(E(B(x))\) ，这玩意非常简单，就等于 \(1+\sum\limits_{i=2}^{n}[x_{i-1}\not=x_i]\)

然后平方一下： \(E(B(x)^2)=E((1+\sum\limits_{i=2}^{n}[x_{i-1}\not=x_i])\times (1+\sum\limits_{i=2}^{n}[x_{i-1}\not=x_i]))\)

化简：

\(E(B(x)^2)=E(1+2\sum\limits_{i=2}^{n}[x_{i-1}\not=x_i]+\sum\limits_{i=2}^{n}[x_{i-1}\not=x_i]\sum\limits_{j=2}^{n}[x_{j-1}\not=x_j]\)

发现第 \(i\) 个 \([x_i\not=x_{i-1}]\) 之和第 \(i-1,i,i+1\) 有关，把这些拿出来单独做，剩下的直接乘就好了

[AGC006C] Rabbit Exercise

~~这个性质我在初三考 NOIP 的时候场上想出来了，但是高一做这道题的时候没想出来 👈🤣~~

第 \(i\) 只兔子跳完位置的期望是 \(\frac{2\times a_{i-1}-a_i+2\times a_{i+1}-a_i}{2}=a_{i+1}+a_{i-1}\)

这玩意不就是 \(NOIP2021\) 方差嘛！那就差分一下，然后现在第 \(i\) 只兔子跳等于 \(swap(a_i,a_{i+1})\)

然后这个万一就可以倍增了/hanx

gym102978 H. Harsh Comments

CF643E Bear and Destroying Subtrees

无语了 👈🤣

首先考虑 \(O(n^2)\) 的 \(dp\) 怎么做

设 \(f_{u,j}\) 表示以节点 \(u\) 为根节点，树深度为 \(j\) 的概率，但是发现这样转移要搞一个前缀和，不如直接把状态改为：以节点 \(u\) 为根节点，树深度小于等于 \(j\) 的概率，转移就很简单了 \(f_{u,j}=\prod\limits_{v}^{(u,v)\in E} (\frac{f_{v,j-1}}{2}+\frac{1}{2})\)

然后考虑优化，现在这个题牛逼的地方就来了，发现如果深度太深的话概率太小，不用计算，深度直接算到五六十就行了 😮