自然数幂求和及其证明

自然数幂求和：

给定正整数$N,K$ , 求 

$$\sum _{i=1}^{N} i^K$$

---

证明：上式是一个关于$N$的$K+1$次多项式.

定义：对于一个数列$\{ a_n \}$如果数列中的数全部相等，则称其为常数数列。

对于数列$\{ a_n \}$ ， 令数列$\{ b_n \}$满足$b_i=a_{i+1}-a_{i}$，那么称$b$是$a$的一阶差分数列，记作$\Delta a$。

平常所说的等差数列的一阶差分数列就是常数数列。

$b$的一阶差分数组为$a$的二阶差分数列，表示为$\Delta ^2 a$.

以此类推 $a$的$p$阶差分数列记为$\Delta^p a=\Delta(\Delta^{p-1} a)$

如果数列 $a$ 的$p$阶差分数列为非0常数数列，则记$a$为$p$阶等差数列。

定理：某个数列是一个$p$阶等差数列当且仅当他的通项公式是一个$p$次多项式。

证明：设数列$\{A_n\}$.其通项公式为$A(x)=\sum t_i x^i$.

设$\{T_n\}$为其一阶差分数列，则有

$$T(x) = A(x+1)-A(x)$$

$$=\sum _{i=0} ^{N} t_i((x+1)^i - x^i)$$

容易发现$T(x)$这个多项式的第$n-1$项系数为0，这就代表着每做一次差分变换，数列的通项公式次数将下降1.

于是定理显然成立。

---

令

$$f(x)=\sum _{i=1} ^{x} i^K$$  

考虑$\Delta f(x)=(x+1)^K$,也就是说$f$的差分数列的通项公式是一个$K$次多项式，这也就说明了$f$实际上是一个$K+1$次多项式。

---

在证明了它的性质之后，我们就可以用拉格朗日插值法求解这个式子。

首先我们可以在$O(K log K)$时间内求出前$K+2$项。

一般的拉格朗日插值法：

$$f(k) = \sum _{i=0} ^{n} y_i \prod _{i \neq j} \frac{k-x[j]}{x[i]-x[j]}$$

这样是$O(K^2)$的，需要想办法优化，容易发现取值连续，于是上一个套路的优化：

令$pre_i=\prod _{j=0} ^{i} k-x[j] , suf_i=\prod _{j=i+1} ^{n} k-x[j]$

$$f(k) = \sum _{i=0} ^{n} y_i \prod _{i \neq j} \frac{k-x[j]}{x[i]-x[j]}$$

$$= \sum _{i=0} ^{n} y_i \frac{\prod _{i \neq j} k-x[j]}{\prod _{i \neq j}x[i]-x[j]}$$

$$= \sum _{i=0} ^{n} y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{(-1)^{N-i} i! (N-i)!}$$

之后这个式子里每一项都很好求了。

题目来源：CF622F