ABC EF 简单题记录

ABC 266 E（1227）

最多扔 $n$ 次骰子，求最后一次扔到的数的期望最大值。

考虑 dp，设 $dp[i]$ 表示扔 $i$ 次骰子的期望最大值。
转移时枚举这次投到的数，若大于 $dp[i-1]$，则继续投，若小于，则停止。

ABC 266 F（1525）

给定一颗基环树，求两点之间的路径上是否经过环。

可以先通过拓扑排序找出环打上标记，之后从环上的每一个点开始搜索，找到每一个点的“根”。询问的时候只要判断两个点的“根”先不相同即可。

ABC 265 E（1531）

题意不好描述。
考虑 dp，$f[i][j][k]$ 表示第一种操作进行 $i$ 次，第二种操作进行 $j$ 次，第三种操作进行 $k$ 次方案，dp 转移枚举这一步的操作即可，但需要用 map 存，常数比较大，注意卡常。

ABC 264 E（1229）

赛时又没做出来。
这里提供一种带权并查集的做法。
考虑倒序思考，把删边变成加边，每次有多少个点通电。设一个超级源点，表示所有发电场，每次加边就 merge，答案即为超级源点的 $size-1$。

ABC 263 E（1659）

期望 dp。设 $f_i$ 表示从 $i$ 到 $n$ 的期望步数。

$$f_i={\displaystyle \frac{\sum _{j=i}^{i+A_i}(f_j+1)}{A_i+1}}$$

推一下可以发现：

$$f_i={\displaystyle \frac{\sum _{j=i+1}^{i+A_i}{f}_j+A_i+1}{A_i}}$$

前缀和优化即可。

ABC 262 E（1719）

太 ahhoc 了！
设红色节点的度的贺为 $S$，红红之间边数为 $R$，红蓝边数为 $D$。
易得：$S=2R+D$，发现 $D$ 为偶，$S$ 一定为偶。
这要求奇数度的节点的个数为偶。排列组合搞搞即可。
这东西得预处理阶乘逆元。

ABC 261 E（1261）

赛时又没做出来，下大分。。。。
按位求，预处理出从 $1$ 到当前位置每一位的 $0/1$ 会变成什么。复杂度 $O(n\log \{max{a}_i\})$。

ABC 261 F（1587）

原问题可以转化为逆序对的个数减去同色逆序对的个数，二位偏序问题，用树状数组维护，注意清空。

ABC 260 E（1692）

给定数轴上的 $n$ 个二元组 $(a_i,b_i)$，求不同长度包含 $a_i,b_i$ 中至少一个的区间个数。

双指针。
穷举左端点，双指针快速求出对应的最近右端点。差分，快速统计个数。

ABC 260 F（1995）

给定一个 $(S+T)$ 个点， $m$ 条边的无向图，该图由两个节点数分别为 $S$ 和 $T$ 的独立集组成，在图上找由四个节点组成的环（$S\le 3\times {10}^5,T\le 3000$）

考虑到 $T$ 较小，用一个二位数组 $M$ 表示 $T$ 中的两点是否联通。

第一重循环穷举 $S$ 上的节点，二三重循环穷举与 $S$ 相连的 $T$ 上的节点，快速找出有无第四个点与该两点同时相邻。其实就是暴力，复杂度看似会超，但仔细想想却发现是鸽巢原理。

ABC 259 E（1370）

只有当前数的质因数中有最高位，且唯一，对答案才有贡献。

ABC 258 E（1545）

非常锻炼的一道题。先像 ABC 167 D 一样把原问题转化为图上找环的问题。

将 $xmod\sum w_i$，将数组复制两遍，在数组上进行倍增。因为 $x<\sum w_i$，所以复制两遍原数组就应该足够了。每次位置如果 $\ge n$ 就模 $n$。

但是坑点很多，调了好几天/kk，注意模之后要加回来。

ABC 257 E（1385）

比较有趣的贪心题。
考虑到位数越大数越大，我们先使位数最大，为 ${\displaystyle \frac{n}{min{a}_i}}$。
位数固定后我们从前往后尽可能使该位最大即可。

ABC 256 E（1224）

咕了好久，终于把坑填上了。
$n$ 个点 $n$ 条边，发现构成基环树森林。发现环上必有一条边不满足条件，故问题变成了找基环树森林环上的最小值加和。
实现用到并查集。

ABC 256 F（2067）

给定序列 $A_i$，设其前缀和为 $B_i$，其前缀和的前缀和为 $C_i$，其前缀和的前缀和的前缀和为 $D_i$，修改 $A_i$，查询 $D_i$。

树状数组。
考虑 $A_i$ 对 $B_x$ ($i\le x$) 的贡献为 $1$。
考虑 $A_i$ 对 $C_x$ ($i\le x$) 的贡献为 $x-i+1$。
考虑 $A_i$ 对 $D_x$ ($i\le x$) 的贡献为 ${\displaystyle \frac{(x-i+1)(x-i+2)}{2}}$。

$$D_i=\sum _{i=1}^x{\displaystyle \frac{(x-i+1)(x-i+2)}{2}}{A}_i$$

$$D_i={\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)}{2}}\sum _{i=1}^x{A}_i-{\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\sum _{i=1}^{x}i{A}_i+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{i=1}^x{i}^2{A}_i$$

用树状数组分别维护 $A_i,i{A}_i,i^2{A}_i$，复杂度 $O((n+q)\log n)$。