AtCoder DP Contest

AtCoder DP Contest

A

$f[i]$ 表示跳到 $i$ 的最小花费。
$f[i]=min(f[i-2]+abs(h[i]-h[i-2]),f[i-1]+abs(h[i]-h[i-1])$
初值 $f[1]=0,f[2]=abs(h[2]-h[1])$，答案为 $f[n]$。

B

$f[i]$ 表示跳到i的最小花费。
从 $1-k$ 穷举 $j$，$f[i]=min(f[i-j]+abs(h[i]-h[i-j]))$
答案为 $f[n]$。

C

$fa[i]$ 表示第 $i$ 天做 $a$ 的最大快乐质数。
$fb[i]$ 表示第 $i$ 天做 $b$ 的最大快乐质数。
$fc[i]$ 表示第 $i$ 天做 $c$ 的最大快乐质数。
$fa[i]=max(fb[i-1],fc[i-1])+a[i]$
$fb[i]=max(fa[i-1],fc[i-1])+b[i]$
$fc[i]=max(fa[i-1],fb[i-1])+c[i]$

D

背包，$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品总体积不超过 $j$ 的最大价值
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+val[i])$
可以用滚动数组滚掉一维。

E

$w$ 太大了，所以我们需要改变状态的含义。$f[i][j]$ 代表前 $i$ 个物品价值为 $j$ 的最小体积。
$f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])$
仍然可以滚动数组。

F

LCS。先考虑只计算长度的情况。
$f[i][j]$ 表示 $s$ 前 $i$ 位，$t$ 前 $j$ 位的最长 LCS 长度。
$s[i]=t[j]$ 时，$f[i][j]=max\{f[i][j],f[i-1][j-1]+1\}$
否则，$f[i][j]=max\{f[i-1][j],f[i][j-1]\}$
原题要求输出方案，用 string 记录一下即可，但是貌似需要滚动数组。

G

图上 dp。运用拓扑排序。
$f[v]=max\{f[u]\}+1(u\to v)$

H

简单的 dp。
如果 $a[i][j]=$'#'，$f[i][j]=0$
否则，$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$

I

概率 dp。$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个硬币 $j$ 枚朝上的概率。
$f[i][j]=f[i-1][j-1]\times p[i]+f[i-1][j]\times (1-p[i])$

J

期望 dp。$f[i][j][k]$ 表示 $1$ 个寿司的有 $i$ 盘，$2$ 个寿司的有 $j$ 盘，$3$ 个寿司的有 $k$ 个，全吃完的期望次数。
转移方程如下，为了避免子问题没穷举到的问题，改变了外重循环的顺序。当然也可以记忆化搜索。

for(int k=0;k<=n;++k)
	for(int j=0;j<=n;++j)
		for(int i=0;i<=n;++i)
		{
			if(i+j+k)f[i][j][k]=1.0*n/(i+j+k);
			if(i)f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]*i/(i+j+k);
			if(j)f[i][j][k]+=f[i+1][j-1][k]*j/(i+j+k);
			if(k)f[i][j][k]+=f[i][j+1][k-1]*k/(i+j+k);
		}

K

博弈 dp。$f[i]$ 表示省 $i$ 先手是否能赢。
转移：$f[i]=!f[i-a[j]]$

L

区间 dp。$f[i][j]$ 表示在 $i-j$ 区间内能取到的最大值。
转移：$f[i][j]=\sum _{x=i}^j{a}_x-min(f[i+1][j],f[i][j-1])$

M

前缀和优化 dp。
$f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个人分到 $j$ 颗糖的方案数。

$$f_{i,j}=\sum _{x=0}^{min(a_i,j)}{f}_{i-1,j-x}$$

可以前缀和优化。

N

区间 dp。枚举中间点。
$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])$

O

状压 dp，$f[i][s]$ 表示前 $i$ 个男人匹配的女人的状态压缩为 $s$ 的方案数。
考虑到 $i$ 可以由 $s$ 推出，所以可以省略第一维。
转移枚举男人与那个女人配对即可。
$f[s]+=f[s-2^{j-1}]$

P

树形 dp，$f[i][0/1]$ 表示以 $i$ 为根的子树 $i$ 的颜色为白/黑的方案数。

f[x][0]=f[x][0]*(f[v][0]+f[v][1])%mod;
f[x][1]=f[x][1]*f[v][0]%mod;

Q

树状数组优化 dp。
$f_i$ 表示以 $i$ 结尾的答案。

$$f_i=max\{f_x\}+a_i,\text{which}{h}_x<h_i$$

考虑到答案都在一区间内，问题转化为区间最大值，可以使用树状数组优化。

R

矩阵快速幂优化 dp。
$f[i][j][k]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 走 $k$ 步的方案数，发现每次转移都是矩阵相乘，初始矩阵为 $A$，进行 $k$ 次转移之后的矩阵即位 $A^k$，进行矩阵快速幂即可。

S

数位 dp，设 $f[len][pre][0/1]$ 表示还有 $len$ 位需要填，之前数字和模 $d$ 等于 $pre$，当前填的数字贴不贴上界。转移时枚举当前为填的是什么，需要分类讨论。复杂度即为 $\mathcal{O}(10\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(K)D)$。

T

前缀和优化 dp，设 $f[i][j]$ 表示第 $i$ 位填的数字在前 $i$ 位中是第 $k$ 小的方案数。转移时根据大小于号穷举第 $i-1$ 位是第几小，需要前缀和优化，复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。

U

状压 dp，设 $f_i$ 表示当前集合为 $i$ 时的最大得分。转移时枚举子集，即枚举当前集合是由哪两个子集构成的。

可以的出如下转移方程：

$$f_i=\underset{j\subset i}{max}\{f_j+f_{i-j}\}$$

时间复杂度为 $O(2^n{n}^2+3^n)$，分别来自 求集合不分成两部分的得分 和 穷举子集。