默认文中的形如 \([l,r)\) 的区间为其与整数集的交集。
快速变换
设原多项式为 \(F(x) = \sum_{i \in [0,n)} a_i x ^ i\)，其中 \(n = 2 ^ k, k \in \mathbb Z ^ +\)。
我们要求 \(\forall i \in [0,n),\hat a_i = F(t_i)\)，其中 \(t\) 是一个长度为 \(n\) 且两两互不相同的序列。
显然 \(F\) 可以被一组 \(\hat a,t\) 唯一确定，即点值表示法。
另设两个多项式
\[G_0(x)=a_0 + a_2 x + \dots + a_{n - 2} x^{\frac n 2 - 1} \\
G_1(x)=a_1 + a_3 x + \dots + a_{n - 1} x^{\frac n 2 - 1} \\
\]
则有
\[\begin{aligned}
F(x) & = \sum_{i \in [0,n)} a_i x ^ i \\
& = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{n-1} x^{n-1} \\
& = (a_0 + a_2 x^2 + \dots + a_{n-2} x^{n-2}) + (a_1 x + a_3 x^3 + \dots + a_{n-1} x^{n-1}) \\
& = G_0 (x ^ 2) + x G_1 (x ^ 2) \\
\end{aligned}
\]
考虑构造单位根 \(\omega _n ^k\) 满足 \(\omega _n ^{\frac n 2} = -1, \omega _{2n} ^ {2k} = \omega _n ^k\)。
显然也有 \(\omega _n ^n = \omega _n ^0 = 1\)。
设 \(\forall i \in [0,n), t_i = \omega _n ^i\)。
当 \(x = \omega _n ^k, k \in [0,\frac n 2)\) 时显然有
\[\begin{aligned}
F(\omega _n ^k) & = G_0(\omega _n ^{2k}) + \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k}) \\
& = G_0(\omega _ {\frac n 2} ^ k) + \omega _n ^k G_1(\omega _{\frac n 2} ^k) \\
\end{aligned}
\]
当 \(x = \omega _n ^{k + \frac n 2}, k \in [0,\frac n 2)\) 时有
\[\begin{aligned}
F(\omega _n ^{k + \frac n 2}) & = G_0(\omega _n ^{2k + n}) + \omega _n ^{k + \frac n 2} G_1(\omega _n ^{2k + n}) \\
& = G_0(\omega _n ^{2k} \cdot \omega _n ^n) - \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k} \cdot \omega _n ^n) \\
& = G_0(\omega _n ^{2k}) - \omega _n ^k G_1(\omega _n ^{2k}) \\
& = G_0(\omega _{\frac n 2} ^k) - \omega _n ^k G_1(\omega _{\frac n 2} ^k) \\
\end{aligned}
\]
由于两者只有一个符号的差异，于是 \(F\) 的点值可以直接 \(\mathrm O(n)\) 从 \(G_0, G_1\) 的点值得到。
递归解决，时间复杂度 \(\mathrm O(n \log n)\)。
逆变换
设变换后的点值序列为 \(\hat a\)，即
\[\begin{aligned}
\forall i \in [0,n), \hat a_i & = F(\omega _n ^i) \\
& = \sum _{j \in [0,n)} a_j (\omega _n ^i)^j \\
& = \sum _{j \in [0,n)} a_j \omega _n ^{ij} \\
\end{aligned}
\]
设多项式 \(\hat F(x) = \sum _{i \in [0,n)} \hat a_i x^i\)。
对 \(\hat F\) 进行点值变换（\(\forall i \in [0,n),t_i = \omega _n ^{-i}\)），设点值序列为 \(s\)。
则有
\[\begin{aligned}
\forall i \in [0,n), s_i & = \hat F(\omega _n ^{-i}) \\
& = \sum _{j \in [0,n)} \hat a_j (\omega _n ^{-i}) ^j \\
& = \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} \hat a_j \\
& = \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} \sum _{k \in [0,n)} a_k \omega _n ^{jk} \\
& = \sum _{j \in [0,n), k \in [0,n)} \omega _n ^{-ij} a_k \omega _n ^{jk} \\
& = \sum _{j \in [0,n), k \in [0,n)} \omega _n ^{j(k-i)} a_k \\
& = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} \omega _n ^{j(k-i)} \\
& = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j \\
\end{aligned}
\]
显然第二个求和是一个等比数列，由等比数列求和公式 \(\sum _{i \in [m,n)} p^i = \frac {p^m - p^n} {1 - p}\) 得：
- 当 \(\omega _n ^{k-i} \not = 1 \iff i \not = k\)
\[\begin{aligned}
\sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j & = \frac {1 - \omega _n ^{(k-i) n}} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
& = \frac {1 - (\omega _n ^{k-i}) ^n} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
& = \frac {1 - 1} {1 - \omega _n ^{k-i}} \\
& = 0
\end{aligned}
\]
- 当 \(\omega _n ^{k-i} = 1 \iff i = k\)
\[\sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j = \sum _{j \in [0,n)} 1 = n
\]
因此
\[\begin{aligned}
\forall i \in [0,n), s_i & = \sum _{k \in [0,n)} a_k \sum _{j \in [0,n)} (\omega _n ^{k-i}) ^j \\
& = n a_i \\
\end{aligned}
\]
于是我们有
\[\forall i \in [0,n), a_i = \frac {s_i} n
\]
构造单位根
在复数域下，有 \(\omega _n = \cos \frac {2 \pi} n + \mathrm i \sin \frac {2 \pi} {n}\)。
其中 \(\mathrm i = \sqrt {-1}\) 是 虚数单位，可以用 C++ 中的 complex 库中的 std::complex<double/long double> 存储复数。
对于模数 \(P \in \mathbb P, \exist n,k \in \mathbb Z^+, P=2^nk+1\)，在模 \(P\) 意义下有 \(\omega _n \equiv g ^ {\frac {P-1} n}\)，其中 \(g\) 是原根。
\(g\) 是模 \(P\) 意义下的原根当且仅当 \(g ^i \not \equiv 1 \pmod P,\forall i \in [1,\phi(P))\) 且 \(g ^{\phi(P)} \equiv 1 \pmod P\)。
specially，\(\forall P \in \mathbb P\)，其原根 \(g\) 满足 \(\forall i \in [1,P-1), g ^i \not \equiv 1 \pmod P\) 且 \(g^{P-1} \equiv 1 \pmod P\)。
于是对 \(n = 2 ^m, m \in \mathbb Z ^+\)，我们有 \(\omega _n ^n \equiv g ^{\frac {P - 1} {n} \cdot n} \equiv g ^{P - 1} \equiv 1, \pmod P\)，且 \(\omega _n ^{\frac n 2} \equiv g ^{\frac {P - 1} 2} \equiv \pm \sqrt {g ^ {P - 1}} \equiv \pm 1 \pmod P\)，又 \(g ^ {\frac {P-1} 2} \not \equiv 1 \pmod P\)，所以 \(\omega _n ^{\frac n 2} \equiv -1 \pmod P\)。
还有 \(\omega _{2n} ^{2k} \equiv g ^{\frac {2k(P-1)} {2n}} \equiv g ^{\frac{k(P-1)} n} \equiv \omega _n ^k \pmod P\)
由于原根的特殊性，模数 \(P \in \mathbb P\) 有特殊的限制，一般有 \(P = k 2 ^m + 1, k,m\in \mathbb Z ^+\)。
常见的模数有
\[167772161 = 5 \times 2 ^{25} + 1, g = 3 \\
469762049 = 7 \times 2 ^{26} + 1, g = 3 \\
754974721 = 45 \times 2 ^{24} + 1, g = 11 \\
998244353 = 119 \times 2 ^{23} + 1, g = 3 \\
1004535809 = 479 \times 2 ^{21} + 1, g = 3 \\
\]
