后缀自动机（学习笔记）

要看懂本文可能至少需要知道什么是后缀（

还得知道一些自动机的概念（

 

和ac自动机有个很大的不同，sam它的字符是放在边上的（似乎放在点上也可以），因为大部分图都是这样的，（比如下图），把点看成了能接受从起点到该点的路径串的状态。

T状态能接受abc和bc字符串。  （ ps：图随手画的）

首先定义一些概念：

endpos（t）：表示子串t的结束位置。比如aabaa，endpos（“aa”）={2,5}

在sam中，每个endpos(t)即为一个状态，也就是说几个endpos（t）相同的不同子串共用一个状态；显然abab中，ab和b是共用一个状态的。

先定义一个状态：x

string(x):表示x状态能接受的所有字符串。

可得性质1：

在string(x)中，短串是长串的后缀。

再定义几个东西：

string(x)_max，string(x)_min：分别其中的最长串、最短串。

又得性质2：

string(x)=={string(x)_min，string(x)_min+1，string(x)_min+2,,,,,,string(x)_max}，就是说最长串的后缀连续出现在string(x)中，直到string(x)_min。

 

那么又会有疑问了，那长度小于string(x)_min的后缀呢？由于那些后缀的endpos(t)多了几个元素，便不和它们共用一个状态了。但还是有个东西把那些后缀也表示了出来。

定义Suffix指针：指向属于它后缀的状态。如下图绿色的线：

至此，，，似乎已经明白后缀自动机的结构了。

再补充两个点：

所有的子串即为从S出发的所有路径，即为所有状态的string(x)之和。

能轻易地知道每个子串的所有后缀。

状态总数为O(n)。

 

如何O(n)构造呢？

考虑递推，已经建好了前n-1个字符，再加入一个字符c，无非又多了n个子串。

定义pre[n-1]为前面n-1个字符构成的字符串。

这个时候我们只需看当时的末状态，即能接受pre[n-1]的那个状态，因为pre[n-1]的所有后缀加一个字符c就是新增的n-1个子串。

前面说过string(x)_max，string(x)_min，就不多说了，用一条边为c的边连接末状态和新状态，就解决了max-min+1个子串，也解决了pre[n]。

剩下可以分3类情况：

这个时候就需要借用末状态的Suffix指针了。

定义Suffix指针指向了y状态，上面说的新增状态为z。

1，y状态+c，在原有sam上不能发生转移，y新增一条边c指向z。

2，y状态+c，算了，太tm难了。