字符串

前缀函数

给定一个字符串 \(s\)，定义第 \(i\) 个位置上的前缀函数 \(fail[i]\) 表示其前缀和后缀相等的最大长度，对于每个 \(i\)，求出 \(fail[i]\)。

举例：对于文本串 abcab：

\(fail[1]=0\)，我们规定如此。

\(fail[2]=0\)，因为 ab 没有相等的前缀和后缀。

\(fail[3]=0\)，因为 abc 没有相等的前缀和后缀。

\(fail[4]=1\)，因为 abca 有一个相等的前缀和后缀 a，长度为 \(1\)。

\(fail[5]=2\)，因为 abcab 有一个相等的前缀和后缀 ab，长度为 \(2\)。

这里我们介绍 Wilson_Inversion 大佬教我的求 fail 数组的方法：

对于位置 \(i\)：

1. 令 \(p=fail[i-1]\)。
2. 如果 \(s[i]\ne s[p+1]\)，令 \(p=fail[p]\)，否则 \(fail[i]=p+1\)。
3. 重复步骤 \(2\) 直到求出 \(fail[i]\)。

具体地，我们仍然使用 abcab 来演示这一步骤：

对于位置 0：
\(fail[0]=-1\)，为了方便，我们规定如此。

对于位置 1：
由于 \(fail[1-1]=-1\)，所以 \(fail[1]\) 被直接赋值为 \(0\)。

对于位置 2：
由于 \(fail[2-1]=0\) 且 \(s[2]\ne s[1]\)，所以 \(p\) 被赋值为 \(0\)。
由于 \(fail[0]=-1\)，所以 \(fail[2]\) 被直接赋值为 \(0\)。

对于位置 3：
由于 \(fail[3-1]=0\) 且 \(s[3]\ne s[1]\)，所以 \(p\) 被赋值为 \(0\)。
由于 \(fail[0]=-1\)，所以 \(fail[3]\) 被直接赋值为 \(0\)。

对于位置 4：
由于 \(fail[4-1]=0\) 且 \(s[4]=s[1]\)，所以 \(fail[4]=1\)。

对于位置 5：
由于 \(fail[4-1]=1\) 且 \(s[5]=s[2]\)，所以 \(fail[5]=2\)。

code：

int p = 0;
fail[0] = -1, fail[1] = 0;
for(int i = 2; i <= len1; i++) {
    while(p != -1 && s[i] != s[p + 1]) p = fail[p];
    fail[i] = ++p;
}

KMP

给定文本串 \(t\) 和模式串 \(s\)，求模式串在文本串中所有出现位置。

和求 fail 数组的原理一样，只不过这次是在文本串中匹配模式串，我们按照如下方法进行：

1. 令 \(p=fail[i-1]\)。
2. 如果 \(t[i]\ne s[p+1]\)，令 \(p=fail[p]\)，否则 \(ans[i]=p+1\)。
3. 重复步骤 \(2\) 直到求出 \(ans[i]\)。

这里 \(ans[i]\) 的含义是文本串的第 \(i\) 个位置的后缀与模式串的前缀的最大匹配长度，当这个长度与模式串长度相等时，代表模式串在文本串中出现了。

code：

int p = 0;
for(int i = 1; i <= len2; i++) {
    while(p != -1 && t[i] != s[p + 1]) p = fail[p];
    ans[i] = ++p;
}

Trie 树

图源：oi-wiki