算法 - 课程笔记

调度问题

插入排序

分治法

分治法是将原问题划分为多个规模较小的子问题，这些子问题可以独立求解，将子问题的解进行综合得到原问题的解。算法设计一般使用递归算法，算法分析一般使用递归表达式。

归并排序

归并排序，就是分组再合并，将一个数组等分为左右两个子数组，然后再使用归并排序递归地排序两个子数组，最后将两个子数组的排序结果进行合并。

快速排序算法

先确定一个数组的中间一个元素（枢轴），将数组划分为两个子数组，其中前面的数组元素都小于枢轴元素，后面的数组元素都大于枢轴元素。然后再递归地处理两个子数组。

这里的快排算法，取最后一个元素作为枢轴，i和j之间的元素是大于枢轴的元素，i及其之前的元素是小于枢轴的元素，j及其之后的元素是未处理的元素。。

最坏情况是输入数组完全有序，时间复杂度为O(n²)，因为确定一个枢轴需要遍历一遍数组，而又需要确立n个枢轴。最好和平均都是O(nlogn)。

选择问题

贪心算法

依据某种"短视的"贪心选择性质，问题求解表示成多步判断。期望通过局部优化选择达到全局优化选择，但贪心算法是否产生优化解，需要经过正确性证明。

活动选择问题

每次选择剩余时间最多的，通过局部最优解达到全局最优解。则按结束时间非降序排列，从前往后进行选择。

部分背包问题

最小延迟调度问题

动态规划

动态规划法和分治法类似，也是将要求解的问题分解为一级一级、规模逐渐缩小的子问题，直到可以求解其解的子问题为止。所有子问题按层次关系构成一棵子问题树，树根是原问题，原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

与分治法不同的是，子问题往往不是独立的，子问题树中的子问题会有大量重复，对于重复的子问题，可以在第一次求解时将答案保存起来，后面遇到直接引用。

动态规划法求解的问题需要有优化子结构性质，即一个问题的优化解包含了子问题的优化解。

加权区间调度问题

最长公共子序列问题

1. 刻画结构特征

2. 递归定义最优解的值

3. 迭代计算最优解的值，并且记录构造最优解所需的信息

4. 根据记录的信息构造最优解

这里计算最优解的值，是在一个矩阵中从上向下进行计算的，而构造最优解时，是反过来从下向上进行构造的。

标记函数b[I,j]的箭头是表示此处的值是从哪里来的，只有向左上角的箭头才是xi=yj的，并且等于左上角的值+1。

矩阵链乘法问题

首先两个矩阵Aij和矩阵Bjk相乘，最小乘法次数是i*j*k。

S用来标记划分点，便于后面构建最优解

向量P表示的是矩阵的行和列，如下

M矩阵如下，是一个上三角矩阵，对角线元素是0，计算时从左下到右上的每一层依次进行计算。

下面算法中r是矩阵链长度，从2到n，对应上图中左下到右上的每一层；i是行标，j是列标。

01背包问题

K(I,c)表示前i个商品中，背包容量为c时的最优解的值。

即是先考虑前1个商品，然后考虑前2个商品等，动态规划的思想就是利用优化子结构性质和重复子问题性质，这类问题的最优解包含着它们子问题的最优解，因此先从子问题的最优解算起。

特殊的01背包问题

子集合问题中，背包容量是W，价值和是元素和。

划分问题中，可以对整数集合求和，然后除以2得到平均值，拿平均值作为背包容量。所以问题就变成了判断能否从原集合中选择子集合，使子集合的整数和等于背包容量。

图

节点v从u可达：从节点u到节点v有一条路径

路径是简单的：路径上所有节点都是不同的

子图：V'包含于V，E'包含于E

生成子图：包含所有节点

树：连通无回路的无向图是树

森林：无回路的图是森林

生成树：图的一个生成子图，并且是一个树