常见积性函数（转自百科）

前面做hdu1452 用过积性函数这个东西。。。刚才遇到又不会了。所以弄一点资料提醒一下自己

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若对于某积性函数 f(n)，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。[1]

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

性质1

　　积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。

即是说，若将n表示成质因子分解式

 

则有

 

性质2

      若f为积性函数且有

 

       则f为完全积性函数。

积性

　　φ(n) －欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目

　　μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

　　gcd(n,k)－最大公因子，当k固定的情况

　　d(n) －n的正因子数目

　　σ(n) －n的所有正因子之和

　　σk(n)－因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

　　1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

　　Id(n)－单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

　　Idk(n)－幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k（完全积性）

　　ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

　　λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

　　γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的[1]

非积性

　　冯·曼戈尔特函数：当n是质数p的整数幂，Λ(n)=ln(p)，否则Λ(n)=0

　　不大于正整数n的质数的数目π(n)

　　整数拆分的数目P(n)：一个整数能表示成正整数之和的方法的数目[2]