等比数列和的快速求法

等比数列是一种常用的数列

朴素的求和方法是直接每项相加，不会影响取模，代码也很简单，但是时间复杂度为o（n），难以令人满意

于是我们想到了通项公式

我们知道，等比数列和前n项和公式为（a1-a1*q^n）/(1-q).

而通过二分计算快速幂可以在log（n）的时间计算出q^n的值，（代码如下）。剩下的貌似就是简单的除法了

int pow2( int a, int b )
{
    int r = 1, base = a;
    while( b != 0 )
    {
        if( b % 2 )
            r = (r*base)%mod;
        base =( base*base)%mod;
        b /= 2;
    }
    return r;
}

 

 

不过事情没这么简单。

由于等比数列增加很快，很多题目中我们需要对它进行取模，而通项公式中有除法，不能直接取模，于是我们需要使用数论中讲到的模逆元素

 在数论中，若 (a/x) %p= ( a *y%p) 我们称y为x模p的逆元素

逆元素存在条件为gcd(x,p)=1;

有结论为，若y为x模p的逆元素，则x*y%p=1.

即x*y与1关于p同余

因此我们可以使用exgcd求得x模p的逆元素exgcd(x,p,&y,&z);

得到一个y，若y为负，调整为正数

求得了x的逆元素，我们就可以通过

(a1*pow(q,n)-1)*y%mod 得到等比数列（a1，q）的前n项和了。

 

** 9.8日补充：

若取模的P非质数，那么gcd(x,p)不一定等于1，此时无法通过exgcd求逆元

取模时还有一个备选公式可以使用：

(A/B)%C=(A%(B*C))/B (A%B = 0);

不过要注意b*c可能会溢出，适用范围不大

 

应用：hdu1452 -----求 2004^x(mod 29)

参考资料 http://blog.csdn.net/luyuncheng/article/details/8017016

ac代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 200000000
#define ull unsigned long long
const int MAXN = 100011;
int pow2( int a, int b )
{
    int r = 1, base = a;
    while( b != 0 )
    {
        if( b % 2 )
            r = (r*base)%29;
        base =( base*base)%29;
        b /= 2;
    }
    return r;
}
 int main()
 {
     int x;
     while(scanf("%d",&x)&&x)
     {
         int a=pow2(2,2*x+1);
         int b=pow2(3,x+1);
         int c=pow2(22,x+1);
        
         printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29);
     }
    return 0;
}