蒟蒻的第一篇题解

可能观感不是很好）

题意简述：

给定正整数 \(n,k\),求方程

$ x^k\equiv n\pmod{x+1} $

的解的个数。（其中\(x\)为正整数）

对于50%的数据 \(k=1\)

对于100%的数据 $ 2\le k,n\le 10^{14} $

题目分析：

50%数据分：

• 题目中说50%的数据中 \(k=1\)

  即此时方程为 $ x\equiv n\pmod{x+1} $

  去除模数可转化为 $ x+y(x+1)=n $

  即 $(x+1)-1+y(x+1)=n $

  即 $(y+1)(x+1)=n+1 $

  直接\(\sqrt{n}\) 求出 \(n+1\) 的因子数 再减一即可（\((x+1)\)不能等于一）

  至于求法，求出所有的质因数幂次，每个加一相乘即可

100%数据分

• 此时方程为$ x^k\equiv n\pmod{x+1} $

  我们尝试从$ x^k\pmod{x+1} $中找找东西

  • \(k=1\) 时 \(x^1\pmod{x+1}\) 即 \(=x\)

  • \(k=2\) 时 $ x^2\equiv1\pmod{x+1} $（证一下）

    • \(x^2\equiv x(x+1)-x\pmod{x+1}\)

    • 即 \(x^2\equiv -x\pmod{x+1}\)

    • 即 \(x^2\equiv -x+(x+1)\pmod{x+1}\)

    • $\therefore x^2\equiv1\pmod{x+1} $

  • \(k=3\) 时 \(x^3\equiv x^2*x\equiv1*x\equiv x\pmod{x+1}\)

  • \(k=4\) 时 \(x^4\equiv x^2*x^2\equiv1*1\equiv 1\pmod{x+1}\)

以此类推，可得：

当\(k\)为奇数时：

\(x^k\equiv x\pmod{x+1}\)

当\(k\)为偶数时：

\(x^k\equiv 1\pmod{x+1}\)

• 回到题目上，可以进行分类讨论：

  • 当\(k\)为奇数时，原方程即为

    $ x^k\equiv x\equiv n\pmod{x+1} $

    即 $x\equiv n\pmod{x+1} $

    （与50分数据同解法）

  • 当\(k\)为偶数时，原方程即为

    $ x^k\equiv 1\equiv n\pmod{x+1} $

    即 $1\equiv n\pmod{x+1} $

    • 去除模数可转化为 \(1+y(x+1)=n\)

    • 即 \(y(x+1)=n-1\)

    • \(\sqrt{n}\) 求出 \(n-1\) 的因子数 再减一即可（同上）

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本人代码（比较丑）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{
//	freopen("A.in","r",stdin);
//	freopen("A.out","w",stdout);
	int n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);
	if(k%2==1){
		n++;	
	}else{
		n--;
	}
	int tmp=n;
	int cnt;
	int ans=1;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		cnt=1;
		while(tmp%i==0){
			tmp/=i;
			cnt++;
		}
		ans*=cnt;
	}
	if(tmp!=1){
		ans*=2;
	}
	ans--;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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蒟蒻第一篇题解完结撒花

——原发布于 \(2023.2.2\)