2022 年 3月随笔档案 - Prean

LGP4340题解

摘要：看到加减想抵消我们来思考一件很许可的事情：对于一个表达式，其值一定是类似

\sum_{i = 1}^{m} c_{i} \times p r o d_{i}

$\sum_{i=1}^{m}c_i\times prod_i$ 类似的办法算出来的。就是一堆区间的乘积再加上符号。可以发现，除了第一个

p r o d_{i}

$prod_i$ ，后面的

p r o d

$prod$ 都会被抵消掉。所以我们只需要枚阅读全文

posted @ 2022-03-31 15:52 Prean 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP8203题解

摘要：首先我们对所有的

s

$s$ 建出 ACAM，然后把所有

s

$s$ 的信息丢到上去。问题就变为了每个串

t

$t$ 对应一个大小为

| t |

$|t|$ 的点集，求两个点集的虚树的交的点权和。虚树交这种东西看上去比较奇怪，考虑根号分治。首先我们先使用

O (n \log n) - O (1)

$O(n\log n)-O(1)$ 的 LC 阅读全文

posted @ 2022-03-29 08:13 Prean 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP7582题解

摘要：他说风雨中这点痛算什么，擦干泪不要怕，至少我们还有梦首先弄明白一件事：区间 ACAM 可以看做是所有串的 ACAM 只保留区间串对节点贡献的信息，仍然可以使用所有串的 ACAM 的转移边。于是我们可以使用 ACAM 套线段树，每颗线段树维护这个节点会受到区间哪些位置的串的贡献。但是这这样有一个阅读全文

posted @ 2022-03-28 09:53 Prean 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF86C题解

摘要：麻了，最近几天脑子频繁出问题。。。对于一个 DNA 序列，其一定有若干个前缀满足这些前缀也是 DNA 序列。在一个前缀后面拼上一个能够匹配得上的

s

$s$ 也能得到一个 DNA 序列。考虑 DP。设

d p [i] [u] [k]

$dp[i][u][k]$ 表示填了

i

$i$ 个字符，当前在 ACAM 上匹配到第阅读全文

posted @ 2022-03-27 19:27 Prean 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP5327题解

摘要：考虑树上差分。加入一个语言或删除一个语言。先对整棵树树剖，问题变为区间加和询问全局

\geq 1

$\geq 1$ 的个数。考虑直接用线段树维护区间最小值和最小值的数量。这个可以直接线段树合并维护。注意到总共有

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 次线段树修改。然后。。。直接线段树合并就可以做到 \(O(n\ 阅读全文

posted @ 2022-03-25 15:37 Prean 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3586题解

摘要：我可能是sb吧，题意都能读错。首先发现，如果有的数大于了

s

$s$ ，那么这些数固定对答案有

1

$1$ 的贡献。先数这些数的数量，然后令

c

$c$ 减去这个数。注意到剩下的数一定都不大于

s

$s$ 。我们在刚学贪心的时候做过一道题：一堆电池在需要两节电池的遥控器内能用多久，考虑从这个结论推下阅读全文

posted @ 2022-03-25 14:41 Prean 阅读(21) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSOJ6151题解

摘要：能够注意到，题意相当于让我们对一段前缀矩阵区间加，然后求某个位置的历史最值。历史最值很容易转化成矩阵来维护，具体地：

h m i = min (h m i, m i + x)

$hmi=\min(hmi,mi+x)$

m i = min (I N F, m i + x)

$mi=\min(INF,mi+x)$ \(

[\begin{matrix} h m i^{'} \\ m i^{'} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}hmi'\\mi'\end{bmatrix}$ =\begi 阅读全文

posted @ 2022-03-22 11:46 Prean 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSOJ6540题解

摘要：整个人场上发麻，有思路但是懒得去推，结果很简单然后就寄了/hanx 注意到一个串的续力值相当于这个串的所有前缀的 Border 的数量。问题变为计算新加入字符后，所有后缀的上述值。 Insert 一个节点后，考虑上述过程，发现相当于计算每个子串的 Border 数量之和。自动机上一个节点的 Bo 阅读全文

posted @ 2022-03-19 15:15 Prean 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP2336口胡

摘要：SAM：线段树是我双手的延伸这句话相当有道理考虑容斥。设

a_{i}

$a_i$ 和

b_{i}

$b_i$ 是第

i

$i$ 个喵星人的姓和名，我们对于两个串分别求答案，再减去同时被两个串包含的询问串数量。我们同时建立三个广义 SAM：只包含

a

$a$ ，只包含

b

$b$ 和

a, b

$a,b$ 都包含。只阅读全文

posted @ 2022-03-18 20:26 Prean 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP2292题解

摘要：神奇题目（首先观察一下，有一个简单的

O (n m | t |)

$O(nm|t|)$ 的暴力，即对字符串的每一个前缀记录哪些前缀能够到达这个前缀。观察到

s

$s$ 的长度只有

20

$20$ ，这给了我们机会。看到

20

$20$ ，你要想的东西不止有状压，还可能是 bitset。对于一个前缀，记录

p [i]

$p[i]$ 阅读全文

posted @ 2022-03-18 19:15 Prean 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF908G&LOJ6697题解

摘要：为什么我从ACAM做到了数位DP啊考虑枚举顶着最大值的前缀和没有顶着最大值的后缀。考虑计算一个数对答案的贡献。统计

t

$t$ 的出现次数记录到

c [t]

$c[t]$ 中。贡献就是 \(\sum_{i=0}^{9}((\sum_{x=0}^{\sum_{j=i}^{9}c[j]-1}i\times 阅读全文

posted @ 2022-03-17 20:43 Prean 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3281题解

摘要：当你看到一个东西的时候，GF 有可能比 DP 更方便。处理贡献也有可能比 DP 更方便。这个题意明显是让我们计算

S (r) - S (l - 1)

$S(r)-S(l-1)$ 之类的东西（所以直接考虑前缀的答案就好了（考虑将一个数分为两个部分，顶着最高位的前缀和没顶着最高位的后缀。我们枚举这个前缀。后缀的个数是很容易计算阅读全文

posted @ 2022-03-16 09:06 Prean 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3311题解

摘要：为什么我和同学对比了一下，发现我和他的做法差别很大啊对于这种问题，我们把整个字符串分为两个部分：前缀顶着最高位和后缀没有顶着最高位。我们枚举这个前缀，然后后缀通过 DP 来搞定。不包含任何一个子串，似乎最有力的处理工具就是 ACAM。于是我们可以确定这个 DP 的状态：\(dp[k][u]\ 阅读全文

posted @ 2022-03-16 08:39 Prean 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3126题解

摘要：这道题还有点意思。路径要求是一个回文串，回文串立马枚举中点。中点只可能在对角线上。枚举对角线上的一个点，然后两边的路径必须完全相同。既然路径上的字符必须完全相同，那么每个前缀也必须完全相同。考虑 DP。设

d p [x 1] [y 1] [x 2] [y 2]

$dp[x1][y1][x2][y2]$ 表示左上方的路径终点在 \((x1,y1 阅读全文

posted @ 2022-03-15 12:00 Prean 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP6276题解

摘要：众所周知，排列是一个置换，一个置换是一车环。步数就是这些环长的

l c m

$lcm$ 。如果你去思考直接 DP，会发现很困难，根本设不出来状态。于是考虑正难则反：每个质数幂

p^{k}

$p^k$ 对答案的贡献。可以发现，如果设

f [p^{k}]

$f[p^k]$ 是

p^{k}

$p^k$ 在

f [p^{k}]

$f[p^k]$ 个排列的 \ 阅读全文

posted @ 2022-03-14 20:17 Prean 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF578D题解

摘要：LCS 为给定串的长度减一，考虑枚举一个区间

[L, R]

$[L,R]$ ，表示

S

$S$ 和

T

$T$ 的长度为

L - 1

$L-1$ 的前缀完全相同以及长度为

n - R

$n-R$ 的后缀完全相同，且没有比这个前缀和后缀更长的前缀和后缀。可以发现对于一组

[L, R]

$[L,R]$ ，满足条件的串还需要满足 \(S[L+ 阅读全文

posted @ 2022-03-14 08:59 Prean 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3726题解

摘要：确实牛逼。。。。。。这个转化我反正肯定想不到。。。考虑

a = b

$a=b$ 的情况。发现出了平局之外都是一半赢一半输。可以得到此时的答案为：

\frac{2^{a + b} - \sum_{i = 0}^{a} {(\binom{a}{i})}^{2}}{2}

$\frac{2^{a+b}-\sum_{i=0}^{a}\binom{a}{i}^2}{2}$ 后面是范德蒙德卷积，可以得到答案是 \(\frac{2^{ 阅读全文

posted @ 2022-03-12 10:42 Prean 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1483F口胡

摘要：《线性做法》首先我们对所有串建立 ACAM，不难发现对于一个

i

$i$ ，可能的

j

$j$ 一定是

i

$i$ 所有后缀节点在 fail 树上第一个被打标记的祖先。但是这些祖先的内部可能在 fail 树上仍然存在祖孙关系。我们需要去掉存在祖孙关系的父亲节点。我们将节点按照括号序的左端点阅读全文

posted @ 2022-03-11 11:12 Prean 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF587F&CF547E题解

摘要：这两道题好像啊贡献一种使用SAM和ACAM草两道题的方法下面假装有

O (\sum | S | = m) = O (n)

$O(\sum |S|=m)=O(n)$ 。你看看，这CF换过多少个出题人啦？换汤不换药啦！其实这两道题是同一个人出的 CF587F 根号分治。把长度大于

B

$B$ 的串全部拿出来，有

\frac{m}{B}

$\frac{m}{B}$ 个串阅读全文

posted @ 2022-03-10 16:41 Prean 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP4229题解

摘要：某位寄吧的故事下文的

m

$m$ 即为题面中的

Q

$Q$ 。离散化，把序列变成

O (2 m)

$O(2m)$ 个部分，然后对这

O (2 m)

$O(2m)$ 个部分把最大值求出来，每次把最大值相同的部分拉出来，再把限制和这个最大值相同的也拉出来。我们假装这个最值叫

c

$c$ 。然后是

d p

$dp$ 。\(dp[n] 阅读全文

posted @ 2022-03-10 08:57 Prean 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP5204题解

摘要：@CF1327F 最小值看着有点怪，先转化成最大值吧。。。反正没啥区别。。。考虑把最大值相同的区间和限制为这个最大值的区间都拿出来。然后离散化。问题变为让所有区间都满足最值为

c

$c$ 。考虑 DP。设

d p [n] [k]

$dp[n][k]$ 表示到序列上的第

n

$n$ 个位置后，上一个

c

$c$ 在第阅读全文

posted @ 2022-03-09 16:25 Prean 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1327F题解

摘要：首先第一步，位运算拆位。变为一个区间的

A n d

$And$ 为

0

$0$ 或

1

$1$ 。如果

A n d

$And$ 为

1

$1$ ，那么所有数都需要为

1

$1$ ，否则为

0

$0$ 。我们把所有可能为

0

$0$ 的位置拉出来，然后和区间进行离散化。这个可以做到

O (n + m)

$O(n+m)$ ，处理每个位置前面阅读全文

posted @ 2022-03-09 14:50 Prean 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP6773题解

摘要：阴间状态，出题人是怎么想到的。。。为啥lg题解全部都是直接丢状态不说是怎么想的啊。要是以后遇到阴间状态题该怎么想.jpg 首先通过观察，我们可以形象地定义染色：边权为

1

$1$ 的边相当于将此边割掉，边权为

0

$0$ 的边相当于不割掉。（这个是为了方便思考）我们要做的就是让祖先不能到达孙子。阅读全文

posted @ 2022-03-09 08:45 Prean 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

UOJ188题解

摘要：我们先枚举一个最大质因子，然后设

d p [n] [k]

$dp[n][k]$ 为

n

$n$ 以内使用了

p r i [k]

$pri[k]$ 以内的质数的数的最大质因子之和，答案就是：

\sum_{k \leq n} d p [⌊ \frac{n}{p r i [k]} ⌋] [k]

$\sum_{k\leq n}dp[\lfloor\frac{n}{pri[k]}\rfloor][k]$ 当

p r i [k]

$pri[k]$ 大于 \ 阅读全文

posted @ 2022-03-07 19:50 Prean 阅读(152) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSOJ6310题解

摘要：互不相同，太困难啦！！！！！！考虑可以相同的情况。可以容斥。

a n s = (1 + 1 + 1 + 1) - (2 + 1 + 1) + (3 + 1) + (2 + 2) - (4)

$ans=(1+1+1+1)-(2+1+1)+(3+1)+(2+2)-(4)$ 有点抽象，看看就好（） \(ans=(a,b,c,d)-(a,a,b,c)-(a,b,a,c)-(a,b,c,a)-(a,b,b,c)-(a,b,c,b 阅读全文

posted @ 2022-03-07 15:49 Prean 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSOJ6388题解

摘要：看上去就很神秘。。。考虑建出图论模型。我们将一张牌的两面

a, b

$a,b$ 连一条边。考虑一个连通块的意义是什么。边是一张牌，容易发现，如果连通块是一棵树，那么选择一个根节点相当于可以打出除了根节点以外的所有牌。如果连通块不是树，那么所有数都可以被打出。容易发现，如果一个区间的一个子集全部都阅读全文

posted @ 2022-03-07 15:29 Prean 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSOJ6387题解

摘要：算是刷新了我对树上问题的认知首先第一问随便做一个

O (n k)

$O(nk)$ 的 DP 就可以草过去，考虑第二问。我们将问题分为两个部分：走儿子边的答案和走父亲边的答案。最后拼接一下就好了。设

f d [u] [k]

$fd[u][k]$ 是走儿子边且距离不超过

k

$k$ 的节点数量，

f u [u] [k]

$fu[u][k]$ 是走父亲阅读全文

posted @ 2022-03-07 14:33 Prean 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3813题解

摘要：这道题是我去年11月份的时候看到的，当时写了一个假的做法没过样例，然后就没管了。结果今天在模拟赛的时候放到了 T1（我也不知道他为什么是对的，可是他就是过了样例和大样例.jpg 容易发现

n

$n$ 个矩形的边，将整个矩形划分成了

(2 n)^{2}

$(2n)^2$ 个小矩形。这样方便对每个小矩形考虑。发现阅读全文

posted @ 2022-03-05 16:21 Prean 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP6694题解

摘要：第一眼似乎很困难，实际上非常简单（好吧这题我做了一个小时（首先期望具有线性性，我们转化为计算点对对答案的贡献。发现相对位置一样的点对对答案的贡献是一样的。我们把相对位置一样的点对铃出来，乘了之后求和再计算贡献。把点对拎出来是一个卷积，很容易做掉。贡献考虑把两半边的方案数乘起来。如果形如阅读全文

posted @ 2022-03-04 14:58 Prean 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP5363题解

摘要：感觉博弈题都是高大上神秘结论。。。感谢@KaiSuoShuTong 开锁疏通愿意教我这题的博弈部分/qq 考虑每次移动棋子，实际上是有一车

a_{i}

$a_i$ ，每次操作相当于令

a_{i} - c, a_{i + 1} + c

$a_i-c,a_{i+1}+c$ 。考虑奇数位置上的

a_{i}

$a_i$ 为

0

$0$ 时的策略。我们发现如果此时先手走阅读全文

posted @ 2022-03-04 10:26 Prean 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP2490题解

摘要：有点儿神秘？根据他这个题意说的，白子向右的第一个一定是对应的黑子啊。所以棋子的绝对位置是不重要的，我们只需要考虑白子和黑子的相对位置，然后考虑用 GF 来拼凑状态就好了。下面的

k

$k$ 是题面中的

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$ 。这是一个 k-nim。

k

$k$ 堆石头每次最多选 \(d 阅读全文

posted @ 2022-03-03 19:56 Prean 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP6144题解

摘要：冲了50分钟外加10分钟厕所才冲出来，请问我还有救吗。看上去像是金组题目的加强版，实际上是金组题目的魔改版。还是考虑像弱化版那样按照左端点排序，并且记录答案的

0 \sim k

$0\sim k$ 次幂和。然后考虑新增的贡献。仍然是右端点不超过自身构成的贡献。但是我们将这部分写成一个集合

| S |

$|S|$ ，我阅读全文

posted @ 2022-03-03 09:20 Prean 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1278F题解

摘要：这不是傻逼题吗？？？？？？考虑到第一张是王牌的概率为

\frac{1}{m}

$\frac{1}{m}$ ，答案就是：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\frac{1}{m})^{i} (1 - \frac{1}{m})^{n - i} i^{k}

$\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(\frac{1}{m})^i(1-\frac{1}{m})^{n-i}i^k$ 我们设

f (x) = x^{k}, x = \frac{1}{m}

$f(x)=x^k,x=\frac{1}{m}$ ：阅读全文

posted @ 2022-03-02 21:58 Prean 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP1480题解

摘要：《四重计树法》有标号无根 prufer 序列，

n^{n - 2}

$n^{n-2}$ 。有标号有根 prufer 序列，

n^{n - 1}

$n^{n-1}$ 。无标号有根设

f [n]

$f[n]$ 为

n

$n$ 个节点时的答案，有： \(f[n]=\sum_{k=1}^n\frac{[\sum_{i=1}^ks_i=n-1]\p 阅读全文

posted @ 2022-03-02 18:51 Prean 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3244题解

摘要：考虑正常 DAG 的有向生成树的方案数。很明显发现，每个节点只需要挑一个父亲即可。方案数为

\prod_{i = 2}^{n} d [i]

$\prod_{i=2}^nd[i]$ 。再考虑加上新边后新增的 DAG 数量。将点分为两类。假设这条新边是

(s, t)

$(s,t)$ ，那么我们将能到达

s

$s$ 且能够被

t

$t$ 到达的节点拎出来算阅读全文

posted @ 2022-03-02 15:18 Prean 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP5279题解

摘要：这题好牛逼啊。。。虽然说也是 DP 套 DP，但是感觉比 TJOI 那题高明到哪里去了（我们先考虑如何计算期望。如果设

f_{i}

$f_i$ 为拿到

i

$i$ 张牌后胡的方案数，这个并不是很好做，因为你要考虑前面不胡。所以我们设

f_{i}

$f_i$ 为手上有

13 + i

$13+i$ 张牌但还没有胡的方案数，阅读全文

posted @ 2022-03-02 11:38 Prean 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP4590题解

摘要：这题好像比较牛逼，好像又不是怎么样。考虑两个串是如何计算 LCS 的。这还不简单？

d p [n] [m] = max (max (d p [n - 1] [m], d p [n] [m - 1]), [s [n] == t [m]] d p [n - 1] [m - 1])

$dp[n][m]=\max(\max(dp[n-1][m],dp[n][m-1]),[s[n]==t[m]]dp[n-1][m-1])$ 。我们发现一件事情：\(dp[n][m]-dp[n][m-1]\leq 阅读全文

posted @ 2022-03-01 22:12 Prean 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP5824口胡

摘要：万恶之源十二重计数法先鸽子了球有序，盒子有序答案明显为

m^{n}

$m^n$ 。球有序，盒子有序，每个盒子最多放一个答案明显为

(\binom{m}{n}) n!

$\binom{m}{n}n!$ 。球有序，盒子有序，每个盒子至少放一个设问题

1

$1$ 的方案数为

g (n, m)

$g(n,m)$ ，那么明显有 \(f( 阅读全文

posted @ 2022-03-01 16:18 Prean 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP4916题解

摘要：第一眼，Burnside 直接丢上去啊。设

f (n, m)

$f(n,m)$ 是有

n - m

$n-m$ 个白色珠子和

m

$m$ 个白色珠子的满足题意的环的个数，容易得到答案是：

\sum_{d | n, d | m} f (\frac{n}{d}, \frac{m}{d}) φ (d)

$\sum_{d|n,d|m}f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\varphi(d)$ 考虑左边这个

f

$f$ 阅读全文

posted @ 2022-03-01 11:50 Prean 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LGP3307题解

摘要：题意有点儿神秘，而且出题人可能有点大病（项链由

n

$n$ 颗珠子构成，相邻的珠子不能相同。每颗珠子上有

3

$3$ 个数字，这

3

$3$ 个数之间没有顺序，且

gcd

$\gcd$ 为

1

$1$ 。为什么珠子是三菱柱啊明确一下思路：先算出有多少种可能的珠子，再计算方案数。有多少种可能的珠子阅读全文

posted @ 2022-03-01 11:18 Prean 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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