Slope Trick小记

应该是非常愚蠢的东西，作用是把常数大而且难写的的 $O(n\log n)$ 优化成常数小而且好写的 $O(n\log n)$。

例题 CF713C。

先考虑令 $a_i-i$ 然后转化成不降序列。

很显然最终答案应该是原序列中出现的数，设 $dp[n][x]$ 表示 $b_n=x$ 的最小代价就做完了。

转移方程为 $dp[n][x]=\min_{y=1}^{x}dp[n-1][y]+|x-y|$。

考虑这个过程是在干什么。

好像是在合把两个分段凸函数加起来。

这两个分段函数每一段都是一次函数。

先让我们简化问题，把值域缩小到 $O(n)$ 看看会发生什么。

根据差分，前缀和以及斜率的定义，我们能发现相当于是把每一段 $[x,x+1]$ 的区间的斜率 $+1/-1$。

于是我们可以动态维护斜率和这个函数在 $0$ 处的取值，显然如果斜率大于了 $1$ 那么这一段将会被置为 $0$。

因为这是一个凸函数吗，所以斜率一定是单调的。

使用线段树即可做到 $O(n\log n)$。

容易发现若将一次函数改为 $k$ 次函数，那么只需要对其微分即可。

而 Slope Trick 是钻了一个空子：斜率最大只有 $n$。

他维护了每个分割点，表示分割点与分割点直接的斜率差了 $1$。

于是就可以快速计算某处的值是多少。

不过其实 Slope Trick 维护的是最右边那个分割点上面的值，不影响就是。

以及上述维护方法会受到函数定义域的影响，你需要维护每一处点值，而如果要取任意点值就会寄，或者需要使用平衡树维护。

试试看！CF280E

仍然考虑设 $dp[n][x]$ 表示 $y_n=x$。

那么转移应该是：

$$dp[n][x]=\min_{y=x-b}^{x-a}dp[n][y]+(a_i-y)^2$$

容易发现后面那部分是二次函数，如果仍然使用上述思路的话需要证明 $dp[n][y]$ 为分段函数。

考虑归纳。对于第一段一定是一次函数。

关于 $[x-b,x-a]$ 可以考虑前缀取一个 $\min$ 然后再平移。

考虑对于每一段自身平移。能够发现最多只是增加了一段 $y=x+c$ 的部分，剩下部分仍然是二次函数。

考虑其他段平移到这一段的，能够发现是类似的东西。

所以这个操作结束后一定是分段二次函数。再加上一个二次函数还是分段二次函数。

此时使用上述方法维护每一段的斜率即可。因为仍然是凸函数所以可以使用平衡树维护斜率。（有平移操作）

复杂度 $O(n\log n)$，但是我觉得即使是 $O(n^2)$ 的也没什么人愿意去写吧。。。。。。

总结：对于一个凸函数，将其求导后维护其每一段也是可以维护其极值点的，这样会比维护原函数简单一些（？），不失为一种维护方法。

如果要一句话总结那就是 $f(x)=f(0)+\int_0^x\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}$。